1- Propriété préliminaire. Deux nombres positifs qui ont des carrés égaux sont égaux. Démonstration. Soient a et b deux réels positifs tels que a² = b².
La racine carrée d'un nombre positif x est le nombre positif dont le carré est égal à x. 1) Propriété 1 : Si a et b sont deux nombres positifs alors :.
2-2 Si ? = 0 : Racines : Une racine réelle dite "double" : x1 = ? b On isole la racine carrée et on utilise le fait que si A = B alors A2 = B2 .
B = 3 2 5 3 4 3 37. ××+. ××?. THEME : RACINE CARREE. EXERCICES CORRIGES. Les carrés parfaits : ( sauf 1 ). 4 9
La racine carrée d'un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à Remarque : les nombres négatifs n'ont pas de racine carrée.
racine carrée d'un quotient ou bien un quotient de racines carrées. Car si a et b sont des nombres positifs et a ? 0 alors.
En effet en général
On dit que B est la racine carrée de l'opérateur A et on note l'opé- rateur B par A1'2. Corollaire 1. Soit A e £f{E) strict monotone et A* = A. Alors.
quotient : ln (a b) = ln(a) ? ln(b);. • puissance : ln(an) = nln(a);. • racine carrée : ln (. ?a) =.
Si l'un des a et b est nul alors la racine carrée de l'autre est rationnelle a est rationnel et
Définition : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0 ; +?[ par C(+)=?+ Remarque : La fonction racine carrée n’est pas définie pour des valeurs négatives Résoudre une inéquation avec la fonction racine carrée : Vidéo https://youtu be/UPI7RoS0Vhg II Variations de la fonction racine carrée
4) Extraire un carré parfait Méthode : Ecrire sous la forme avec a et b entiers et b étant le plus petit possible : A = B = C = A = = ? On fait « apparaître » dans 72 un carré parfait : 9 = x ? On extrait cette racine en appliquant une formule
a) Racine carrée d’un produit: (ab ab a b ) + ? ? ? = ?R Démonstration: • a et b sont deux réels positifs donc a b? est aussi un réel positif • Le carré de a b? est ab? car ( ) 2 2 2 a b a b ab? = ? = ? • Donc d’après la définition : ab a b? = ? CQFD Exemples:
Le carré de a b est a + b Par contre le carré de a b est a b 2= a 2 2 a b b 2=a b 2 ab Comme les expressions a b et a b n'ont en général pas le même carré elles ne sont pas égales 3- Utilisation des carrés parfaits Si a et b sont deux nombres positifs on a l'égalité a2 b=a b KB 1 sur 2
a +b = ? 9+16=25 = 5 et d’autre part ? a+ ? b = 9+ 16 = 3+4 = 7 Comme nous allons le voir la proposition 2 est très utile pour simpli?er des racines carrées Exemple 2 1 Appliquons la proposition 2 pour simpli?er les racines carrées suivantes 1 ? 8= 4×2= ? 4× ? 2=2 ? 2 2 ? 75 = ? 25×3= ? 25× ? 3=5 ? 3
La racine carrée d’un nombre positif b est le seul nombre positif d dont le carré est égal à b On a donc d2 = b et on note d = b Par définition on a donc avec b ? 0 b ? 0 et ( b) 2 = b Ex : 9 = 3 (car 3 2 = 9) ; 0 = 0 ; 1 = 1 ; 16 = 4 ; 25 = 5 ; 4 9 = 2 3 Remarque : les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée