Figure 1: Interpolation polynomiale et approximation d'un nuage de points. Page 2. 1 Forme de Lagrange du polynôme d'interpolation. Soit a = x0
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En analyse numérique une fonction f inconnue explicitement est souvent dans le plan
(a) Carl. Runge(1856-. 1927) mathématicien et physicien allemand
analyse numérique : p. 1/8 Le modèle est vérifié pour tous les doublets ? interpolation ... Déterminer le polynôme d'interpolation de cette fonction.
Théor`eme 1.2 (formule de Newton) Le polynôme d'interpolation de degré n qui passe par les Nous appelons ce sujet l'étude de la stabilité numérique.
INTERPOLATION INTÉGRATION. ET DÉRIVATION NUMÉRIQUE. Table des matières. 1 Interpolation et approximation de fonctions. 2. 1.1 Interpolation polynomiale .
Polynôme d'interpolation et base de Newton definition. Différences Divisées. Exemple Numérique. 4 comparaison. 5. Erreur d interpolation. 6. Programmation.
Analyse Numérique – R. Touzani. Interpolation et Interpolation polynomiale en 6 points ... Prenons l'exemple d'une interpolation linéaire n = 1.
Interpolation polynomiale. Interpolation par morceaux. Approximation polynomiale par moindres carrés. 2. Intégration numérique. 3. Dérivation numérique.
Définition : L'interpolation polynômiale consiste à approcher une fonction f dont on connaît n points par un polynôme de degré (n-1) Exemple : Le chiffre d’affaire annuel d’une entreprise est donné dans le tableau suivant: Rang de l’année 1 2 3 CA en millions d’euros 20 24 36 Déterminer le polynôme d'interpolation de cette
Interpolation et Approximation 25 2 4 6 8 10 ?5 0 5 10 p(x) FIG II 1: Polynoˆme d’interpolation de degre´ 5 Solution En inse´rant les conditions (1 2) dans (1 1) le proble`me se transforme en un syste`me line´aire (a` matrice du type Vandermonde; ici e´crit pour n= 2) c+bx0 +ax2 0 = y0 c+bx1 +ax2 1 = y1 c+bx2 +ax2 2 = y2 soustraire
Interpolation •Polynomial Interpolation: A unique nth order polynomial passes through n points •Newton’s Divided Difference Interpolating Polynomials •Lagrange Interpolating Polynomials •Spline Interpolation: Pass different curves (mostly 3rd order) through different subsets of the data points x f(x) Polynomial Interpolation Spline
Exercice 2 On peut prouver ce r´esultat par le calcul pour d =1(2 points d’interpolation) ou d =2(3 points d’interpolation) Th´eor`eme 5 Soit A = {a 0a 1 a d} un ensemble de d +1r´eels distincts L’application qui `a f d´e?nie au moins sur A fait correspondre L[A;f] est lin´eaire Cela signi?e que pour toutes
Interpolation Polynomiale Construction du polynôme d’interpolation Polynôme d’interpolation et base de Newton comparaison Erreur d interpolation Programmation EILCO : Analyse Numérique Chapitre 1 : Interpolation H Sadok 2015-2016 Sadok Hassane Site web : www-lmpa univ-littoral fr/?sadok Cours d’Analyse Numérique Chapitre 1
Interpolation de données. L'interpolation numérique consiste à construire une courbe qui passe exactement par un ensemble de points définis. On se limite ici à l'interpolation polynomiale, c'est-à-dire que les courbes recherchées correspondent à des polynômes. On dispose de (N+1) points caractérisés par leurs coordonnées (left(x_i,y_i right)).
L'interpolation linéaire par morceaux consiste à chercher l'ensemble des polynômes de degré 1 qui passent par deux points successifs du support d'interpolation ; en d'autres termes, on recherche les segments de droites successifs entre 2 points.
on doit faire appel à une méthode d’interpolation. La méthode de Yaroslavsky repose sur l’observation suivante : On décompose alors une rotation en translations successives sur les lignes et les colonnes des images. TFD1D TFD2D Transformations géométriques Composante périodique d’une image
Il est assez naturel de penser que le polynˆome d’interpolation de Lagrange approche d’autant mieux la fonction interpol´ee que le nombre de points d’interpolation est grand. Cette id´ee reste correcte pour une grande classe de fonctions et pour des points d’interpo- lation correctement choisis, mais elle est fausse en g´en´eral.