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fonctions notamment parité et périodicité • Connaître les représentations graphiques de ces fonctions On fait le lien entre le nombre dérivé de la fonction sinus en 0 et la limite en 0 de sin x x En dehors des exemples étudiés aucun développement n’est attendu sur les notions de périodicité et de parité
Cours magistral 5 : Étude de fonctions parité périodicité symétrie translation Symétries : De nition Soit I un intervalle de R symétrique par rapport à 0 (c'est-à-dire de la forme ] a;a[ ou [ a;a] ou R) Soit f : I !R une fonction dé nie sur cet intervalle On dit que : f est paire si 8x 2I f( x) = f(x) f est impaire si 8x 2I f
2 3 Parité et périodicité Dé?nitions Soient Iun intervalle de R symétrique par rapport à 0 (c’est à dire de la forme [?a;a] ou ]?a;a[ou R) et f?I?R une fonction dé?nie sur cet intervalle On dit que : fest paire si ?x?I;f(?x)=f(x) Son graphe est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées;
Exploiterla parité et/ou la périodicité d’une fonction pour construire une courbe Exploiter la convexité d’une fonction pour construire une courbe Exercice 27 1 Soit f et g deux fonctions de R dans R On suppose que f et g sont toutes les deux paires Que peut-on dire de la parité de leur somme f ¯g? leur produit f £g?leur
Plan d’étude d’une fonction —Donner le domaine dé?nition de continuité et si possible de dérivabilité —Étudier la parité et la périodicité (pour simpli?er l’étude : réduire le domaine d’étude et appliquer les propriétés éventuelles de la courbe représentative )
Graphes et variations Concavité et convexité Parité et périodicité Étude de fonction Àvenir Étudier une fonction pour obtenir son graphe 1 Domaine de dé?nition 2 Étude de la T-périodicité et le cas échéant restriction de l’étude à un intervalle de longueur T 3 Étude de la parité et le cas échéant restriction de l
Utiliser la parité et la périodicité d'une fonction Application 1 et 5 page 81 I - La fonction cosinus a Définition La fonction qui à tout réel x associe le réel cos(x) est appelée fonction cosinus : cos : x?cos(x) b Propriétés - Pour tout réel x cos(-x) = cos(x) On dit que la fonction cosinus est une fonction paire
Parité d’une fonction I) Fonction paire 1) Définition Soit ???? une fonction définie sur un ensemble I symétrique par rapport à 0 est paire si et seulement si pour tout ????? I ????(?????) =????(????) 2) Méthode et exemple : Pour montrer qu’une fonction est paire sur un intervalle I :
Indication : Etudier la périodicité de f : n 1 k 0 x k x E E(x) n 2 8 On considère la fonction f définie par f (x) = ln (x+ x² 1 ) a Justifier que f est définie sur et étudier sa parité b Donner les variations de f sur sans calcul de dérivée 2 9 Trouver toutes les fonctions périodiques et monotones sur 2 10 Déterminer s'ils
Parité et périodicité des fonctions 1 Fonctionpairefonctionimpaire 1 1 Fonctionpaire Soit f une fonction dé?nie sur un ensemble D On dit que f est paire sur D si elle véri?e les deux conditions sui-vantes : (1) 8x 2D ¡x 2D (2) 8x 2D f (¡x) ? f (x) Dé?nition 1 Fonctionpaire
xGrâce aux variations de la fonction ? 1/x on sait que : - xsi < y < 0 alors 1 x > 1 y - si 0 < x < y alors 1 x > 1 y Remarques -Les inverses de nombres négatifs sont rangés dans l’ordre contraire ; -Les inverses de nombres positifs sont aussi angés dans l’ordre contraire ! En classe : 54 p 96 Exercices : 51 p 96
Méthode pour étudier la parité d’une fonction f : Etudier la parité de f c’est déterminer si la fonction f est paire ou impaire ou ni paire ni impaire Pour cela on exprime f (-x) en fonction de x: - si l’expression obtenue est égale à f (x): on conclut que la fonction est paire