Math 312 Intro. to Real Analysis: Homework #3 Solutions
16.02.2009 1. 2 . (c) lim ?4n2 + n ? 2n = lim n. ?4n2 + n + 2n. = lim. 1. ?4+1/n + 2 = 1. 4 . 8.2. (b) The limit is 7/3. Given ? > 0 we want.
LIMITES DE SUITES
2n. 3. = +? . b) lim n?+?. 3×. 1. 5. ?.
Tests for Convergence of Series 1) Use the comparison test to
(n + 1)3 + 1. so. L = lim n??.
Séries
Exercice 4. Calculer les sommes des séries suivantes après avoir vérifié leur convergence. 1) (**) ?+? n=0 n+1. 3n. 2) (**) ?+? n=3. 2n?1.
Séries entières
4. ?+? n=1. (1. 2. (ch 1 n. +cos 1 n. ))n4 zn. 5. ?+? n=1. Cn. 2n 4n2?1pour x dans ]?11[ et en déduire les sommes ?+? n=0 ... et donc limn?+?.
Suites
2n. . (b) n n? n!
Musterlösung
20.03.2012 n+1 an und bei (h) dass an = n+1. 2n . Lösung: (a) lim n?? ... 4. )n. > 1. Die Folge (
MATH 4310 :: Introduction to Real Analysis I :: Spring 2015 :: Langou
lim(. ? n2 + n ? n) = 1. 2 . 7.5.b lim(. ?. 4n2 + n ? 2n). A little faster. n. ?. 4n2 + n + 2n. = 1. ?. 4 + 1 n. + 2 lim(. 1 n. ) = 0 so lim(.
Mathematical analysis Sequences IV—Limits October 2013
1. ?4n2?12. ;. 7. limn?? n2+3n n2?7. ;. 8. limn??. 2n?1 n?7. ;. 9. limn??. ?3n6+1. 4n6?3. ;. 10. limn??. 6n3?1. 3n3+2n?4. ;. 11. limn??.
Nombres complexes et limites
2n+1. = 4n2+3n–1– 4n2?2n+6n+3. 2n+1. = 7n+2. 2n+1. = 7n(1+. 2. 7n. ) 2n(1+. 1. 2n. ) = 7(1+. 2. 7n. ) 2(1+. 1. 2n. ) . Or lim n?+?. 1 n. = 0 donc lim.
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1 n+(?1)n ? n 3) (**) ( n+3 2n+1 )lnn 4) (**) 1 ln(n)ln(chn) 5) (**) arccos 3 On en déduit que limn?+? un = 0 et par suite un ? n?+? 1 n
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4 ?+? n=1 (1 2 (ch 1 n +cos 1 n ))n4 zn 5 ?+? n=1 Cn 2n 4n2?1pour x dans ]?11[ et en déduire les sommes ?+? n=0 et donc limn?+?
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1 LIMITES DE SUITES I Limite d'une suite géométrique 1) Suite (qn) q >1 lim n?+? qn = 0 1 +? Exemples : a) lim n?+? 4n = +? b) lim n?+?
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n?1 1 n(n + 1) Exercice 4 Étudier la nature des séries suivantes : ? n?1 Exercice 12 Montrer que la série ? n?N un avec un := ln ( cos 1 2n )
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CHAPITRE 24 SOMMES DE RIEMANN 4 LE GRENIER 4 Le grenier Exercice 24 16 Déterminer pour x = 0 lim n?+o n ? k=1 n n2 + k2x2 rép : on a n ? k=1 n
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quotient des limites : lim n?+? un = ?? c) un = 4n2 + 1 n(2n + 1) Montrons par récurrence que pour tout entier n un = (?4)n+1 + 1
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Rayon de convergence et somme de ? n?0 x2n 2n + 1 4n2 ? 1 Exercice 94 [ 02448 ] [Correction] Pour n > 0 on pose an = ? ?/4 0 tann t dt
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Supposons R(n) vraie avec n impair c'est-`a-dire que l'on peut écrire 2n +1=3k avec k ? N Alors 2n = 3k ? 1 L'entier impair suivant est n + 2 On a 2n+2 =
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4 2 Série de Fourier 6 2 1 Sériestrigonométriques 4 2 Problème (?1)n 2n + 1 = ? 4 D'autre part d'après l'égalité de Parseval on a 1
Quelle est la limite de n ?
n?N est infinie, ce n'est pas dire que n vaut l'infini à partir d'un certain rang ou quelque chose de métaphysique. Dire qu'une suite (un) tend vers l'infini, cela veut dire que si on choisit un réel A (on peut ajouter « aussi grand que l'on veut »), alors un est plus grand que A à partir d'un certain rang.Comment calculer les sommes de Riemann ?
La somme de Riemann de f associée à ? et aux ?i est définie par S(f,?,?)=n?i=1(xi?xi?1)f(?i). S ( f , ? , ? ) = ? i = 1 n ( x i ? x i ? 1 ) f ( ? i ) .Comment calculer la convergence d'une série ?
Si une série est convergente, alors S = Sn + Rn (pour tout n ? 0) et limn?+? Rn = 0. uk = Sn + Rn. Donc Rn = S ? Sn ? S ? S = 0 lorsque n ? +?.- Si la série de fonctions Pfn converge uniformément sur I, alors la fonction somme S est continue sur I. n p=0 fp. Pour que la fonction somme d'une série de fonctions soit continue sur un intervalle I, il suffit que la série converge uniformément sur tout compact de I. xn n
