Exercice 12 : Soit f : R ? R continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe. Correction :Unicité : Soit g : x ?? f(x) ? x.
Montrer la convergence des itérées dans le théorème de point fixe dans le cas On montre d'abord que f admet un unique point fixe : l'application x ??.
On suppose que fn admet un point fixe xn. a) On suppose que (fn)n?N converge Montrer que (xn)n?N converge vers l'unique point fixe de f. Montrer.
Montrer qu'il existe un unique réel x vérifiant ( ) Résultat final. Une fonction f définie continue et décroissante sur R admet un unique point fixe.
Montrer que f est. Lipschitzienne. Correction ?. [005392]. Exercice 2 **I. Soit f continue sur [ab] à valeurs dans [a
On suppose qu'il existe p ? N? tel que fp (f composée p fois) soit contractante. Montrer que f admet un unique point fixe dans E. Montrer que
Montrer que y est solution de (C) si et seulement si y est un point fixe de F. 2. On supposons que I est compact et on montre que F admet un unique point
8 Dec 2003 point de F. Il existe une unique application affine f de E dans F ... ? = 1 et montrons que f admet un point fixe unique (cf. aussi.
9 Apr 2010 Nous allons commencer par montrer le lemme de Schwarz et le lemme de ... suite f admet un unique point fixe a ? D
Montrer que f admet un unique point ?xe Exercice 2 - Soient (Ed) un espace m´etrique complet et f : E ? E On suppose que fq est k-lipschitzienne avec k < 1 pour un certain entier q ? 1 Montrer que f admet un unique point ?xe Exercice 3 - Soient (Ed) un espace m´etrique compact et f : E ? E une application telle que d(f(x)f(y
c’est-à-dire que fN est une contraction Montrer que f a un unique point ?xe x0 et que pour tout x ? X la suite dé?nie par u0 = x et un+1 = f(un) converge vers x0 Quelle est la vitesse de convergence de la suite (un)n?N? Applications Soient ab ? R et I = [ab] un intervalle compact On considère une fonction K : I×I?R
Montrer que f admet un unique point fixe a et que toute suite récurrente x0 ? E xn+1 = f(xn) converge vers a de façon que : ( ?n) d(xn a) ? d(x0 x1)? +? =k n qket d(xn a) ? qnd(x0 a) N-B : Cet énoncé est bien adapté aux équations différentielles et intégrales (de Volterra par ex )
Dans chacun des cas suivants montrer que la conclusion du théorème du point?xen’estpasvéri?éepuisexpliciterl’hypothèsequin’estpassatisfaite: (i) =]0;1[ etf: x7!x=2 (ii) = [0;1] etf: x7! p x2 + 1 (iii) = R etf: x7! p x2 + 1 (iv) = 0;? 2 etf: x7!sin(x) Démonstration Soit K2[0;1[ tel que f est K-lipschitzienne On suppose
Nous avons dé?nie f 1: R!R de telle sorte que f 1 soit la bijection réciproque de f C’est un bon exercice de montrer que f est bijective sans calculer f 1: vous pouvez par exemple montrer que f est injective et surjective Un autre argument est d’utiliser un résultat du cours : f est continue
1 1 Un point fixe d’une fonction f est une solution de l’équation f ( x) = x. . Montrer que, si [a; b] ? f([a; b]), alors f admet un point fixe. Soit f: ? ? ? continue et décroissante. Montrer que f admet un unique point fixe.
Propriété de point fixe . Définition 1 : On dit qu’un espace métrique (ou topologique) X vérifie la propriété du point fixe (en abrégé, PPF) si toute application continue g : X ? X possède au moins un point fixe. Naturellement tout espace topologique homéomorphe à X possède aussi la propriété de point fixe.
Le théorème de point fixe que nous allons maintenant exposer est l’un des plus importants des mathématiques : il n’est pas exagéré de parler de «métathéorème» , tant sont nombreuses ses applications pratiques et théoriques.
On suppose de plus que $ell$ est un point fixe de $f.$ Le comportement des suites récurrentes définies par $u_0in I$ (et même $u_0$ "proche de" $ell$) et $u_{n+1}=f(u_n)$ dépend de $f'(ell).$ On dit que le point fixe $ell$ est attractifsi $|f'(ell)|1.$