Une variable gaussienne est caractérisée par sa fonction caractéristique donnée par la proposition Corollaire 2 (Propriété pour l'indépendance).
4.2.2 Fonction caractéristique et loi des variables aléatoires . Indépendance de variables aléatoires Soit (?T
fonction caractéristique de X la fonction de Rd dans C définie par : peuvent être utilisées pour montrer l'indépendance de v.a.r. (ou de v.a.).
Jan 1 2022 4.3 Régularité de la fonction caractéristique . ... Le concept d'indépendance est fondamental en probabilités. Il est introduit au Chapitre ...
http://www.cmap.polytechnique.fr/~bansaye/CoursTD3.pdf
L'énoncé suivant résulte de la Proposition 2 et du fait que la fonction caractéristique détermine la loi. (d'une variable aléatoire et d'un vecteur aléatoire).
Le candidat doit être en mesure de calculer la fonction caractéristique des lois usuelles. 3 Caractérisation de l'indépendance par les fonctions ...
?X (z) = EeizX = ?R. eizxfX (x)dx. La fonction caractéristique appara?t comme la la transformée de Fourier de la fonction fX (`a un coefficient pr`es). Comme
Soit X un vecteur aléatoire de Rd. On définit sa fonction caractéristique ?X composantes s'écrit a1X1 + ··· + adXd dont la loi est par indépendance des ...
Nous allons voir une nouvelle fonction qui permettra de caractériser la loi d'une variable aléatoire mais de façon plus intéressante que la fonction de
La fonction caractéristique est toujours bien dé?nie les fonctions sinus et cosinus étant continues et bornées et elle est ainsi bornée de la même façon Noterque’ X(0) = 1 (quiesttoujoursunpetittestdevéri?cationdecalcul) Commepourlafonctionderépartitionlanotation’ Xneretientquelavariable
Cela decoule´ directement de l’ecriture´ de la fonctioncaract´eristique et de la formule d’inversion Proposition 5 (Convolution et fonction caracteristique)´ Si X et Y sont des variables al´eatoir es independantes´ alors X+Y (t) = X(t) Y (t): Par exemple soit X ? P( ) et Y ? P( ) ind´ependantes alors X +Y ? P( + ) En effet
Montrer sans utiliser la fonction caractéristique que X 1;:::;X d sont indépendantes et déterminer leurs lois 2 Soit U une variable de loi exponentielle de paramètre 1 et soit V une variable uni-forme sur l’intervalle [0;2?[ On suppose que U et V sont indépendantes Montrer que les variables aléatoires X et Y dé?nies par (X;Y
b)On pose U = X+ Z Déterminer la loi de U et sa fonction de répartition Si X et Z étaientindépendantesquelleseraitlaloideU? Exercice 7 (Fonctions caractéristiques) a)Calculer la fonction caractéristique d’une variable aléatoire constante p s b)Calculer la fonction caractéristique de Xsi Xsuit une loi uniforme sur [ a;a] avec a>0
Exercice 1 2 Une poule pond N oeufs et N est une distribution de Poisson de param`etre ? Chaque oeuf ´eclˆot avec probabilit´e p et les ´eclosions sont des ´ev`enements ind´ependants Soit K le nombre de poussins Calculer la fonction g´en´eratrice de K et en d´eduire que K suit une loi de Poisson de param`etre ?p Solution : On a G
Fonction caractéristique et indépendance : Théorème : Soit(X;Y) uncoupledev a indépendantes Alorspourtoutréelton a: ’ X+Y(t) = ’ X(t)’ Y(t) Preuve : Ene?et’ X+Y(t) = E(eit(X+Y)) = E(eitXeitY)d’oùpuisqueXetY sontindépendantesdoncaussieitX eteitY: ’ X+Y(t) = E(eitX)E(eitY) = ’ X(t)’ Y(t):
geant pour tout z G C C'est la fonction exponentielle de A; ell ec(cz)e vérifi = e ce(z) pour tout c G Cx elle est surjective et F^-linéaire La dérivée de^/dz de e est égale à 1 donc e possède une série réciproque locale en 0 que nous noton logsA et qui converge dans toutes les boules de centre 0 ne contenant pas d'élément de A
b La fonction caract´eristique de la loi uniforme sur ab s a est ? P R Ñ ÞÝ ei p b a q ? {2 sin pp b a q ? {2 p b a q ? {2 si ? 0 1 si ? 0 D´emonstration — Commenc¸ons par le cas a 0 et b 1 et consid´erons U une variable de loi uniforme sur r 01 s On a alors pour ? 0 ?U p ? q » 1 0 eiu? du ei? p 1 i? ei? {2 e i?
Fonction caractéristique Extensions à des vecteurs aléatoires Plan : 1 Variables aléatoires discrètes Lois de probabilité d’une variable aléatoire Espérance d’une variable aléatoire Loi conjointe et lois marginales Indépendance des variables aléatoires 2 Variables aléatoires réelles Le théorème de Radon-Nikodym
Ax ¯b et encore un vecteur gaussien d’espérance Am ¯b et de matrice de covariance A¡tA Théorème 14 Soit X une v a L2 d’espérance m et de matrice de covariance ¡ Alors X est un vecteur gaussien ssi ’X (t) ?eihmjtie¡ 1 2 h¡tjti Corollaire 15 Si deux vecteurs gaussiens ont même espérance et même
Sinon utiliser les fonctions caractéristiques et la question 1) (’ n (u) = eiuan u2R) ii) Prendre n loi normale de moyenne m n et de va-riance ?2 n Alors par indépendance et équidistribution X 1;n+ + X n;n est une variable gaussienne de moyenne la somme des moyennes donc m et de variancelasommedesvariancesdonc?2 Sinon
Fonction caracteristique´ De?nition´ Soit X 2R une v a de densite´ f X La fonction caracteristique de´ X est la fonction a valeurs complexes d` e?nie par´ 8t 2R;? X(t) = E eitX = Z R eitxf X(x)dx: Proposition (Cas gaussien) Soit X une variable aleatoire de loi normale´ N(m;?2) Alors 8t 2R;? X(t) = exp itm 1 2 t2?2 :