une fonction convexe admet toujours un minimum global

TH6 : Soit C un convexe de IRn f une fonction convexe de C sur IR et a ? C

Définition et propriétés d'une fonction convexe On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global ... toujours vérifiée pour x = y et ? ?]0;1[.

fonction soit strictement convexe : cette propriété est d'ailleurs utilisé dans admet un minimum global non strict en ¡?.

fonction convexe définie sur ? ? V est différentiable presque partout (au sens de la mesure 1. tout minimum local est un minimum global.

Minimisation d'une fonction convexe minimiser x x ?0 admet x*-0 pour solution. ... Par contre ƒ n'admet pas de minimum global puisque lim f(x1

Si f est convexe alors tout minimum local sur I est un minimum global La fonction x ?? ex est strictement convexe sur R et n'admet pas de minimum ni ...

Théorème 2.16 (Minimum de fonctions convexes). Soit U ? Rn un ensemble convexe. (a) Si une fonction convexe f : U ? R admet un minimum local en un point x 

Les points stationnaires critiques

8 nov. 2011 Montrer que c est un minimum global pour f sur I : ?x ? I f(c) ? f(x) . Exercice 22. 1. Soit f une fonction convexe sur un intervalle ...

22 nov. 2019 Montrer que le sup d'une famille de fonctions convexes est également une fonction ... On a toujours ... Alors f admet un minimum global.

Minimum global d’une fonction convexe TH6 : Soit Cun convexe de IRn f une fonction convexe de Csur IR et a? C alors 1) un minimum local est un minimum global ; 2) si fest de classe C1 sur Cet si Cest ouvert alors a? Arg C minfsi et seulement si ?f(a)=0 Preuve du TH6:

Si fest convexe alors tout minimum local sur Iest un minimum global sur Iet tout minimiseur local et un minimiseur global Si fest strictement convexe sur I elle admet au plus un minimiseur La fonction x7!ex est strictement convexe sur R et n’admet pas de minimum ni de minimiseur sur R 1 2 2 Optimisation de fonctions de R dans R

R est strictement convexe et coercive alors f admet un unique minimum global Application 23 (algorithme du gradient à pas optimal) Soit f: Rn!R de classe C1 telle que 9?¨0 8uv 2Rn hrf (v)¡rf (u) jv ¡ui>?kv ¡uk2 1 L’application f admet un unique minimum global sur Rn noté a 2 Soit u 2 Rn et soit ’u: t 7!f ¡ u ¯trf (u

1 La compos ee de 2 fonctions convexe est-elle convexe? 2 On consid ere les fonctions d e nies de Rn dans R par f(x) = kxket g(x) = kxk2 Ces fonctions sont-elles convexes? 3 Soit f de Rn dans R convexe Montrer que si f admet un minimiseur local en x 0 alors f(x 0) est en fait un minimum global 4 Soit f de Rn dans R strictement convexe

Par le théorème des bornes la fonction est continue sur un segment donc admet au moins un minimum global et un maximum global (il av falloir les déterminer) La fonction f est de classe C2 sur son intervalle de dé nition donc les extrema sont soit des points critiques soit des bornes de l'intervalle

Fonctions convexes Exercice 1 Soit f(x;y) = 4xy 2x2 y4; (x;y) 2R2: D eterminer le maximum et le minimum de f sur le carr e f(x;y) 2R2: jxj 2; jyj 2g: Exercice 2 Soient p; q 2R; p; q > 1; tel que 1 p + 1 q = 1: Pour y 2Rn donn e on consid ere la fonction g : Rn! R d e nie par g(x) = (yjx) 1 p kxkp: 1 Montrer que g admet un maximum global

Définition et propriétés d'une fonction convexe C Nazaret On dit que f admet un minimum (resp maximum ) global toujours vérifiée pour x = y et λ ∈]0;1[

TH6 : Soit C un convexe de IRn, f une fonction convexe de C sur IR et a ∈ C, alors 1) un minimum local est un minimum global ; 2) si f est de classe C1 sur C et si 

22 nov 2019 · Prouver que pour un entier n ∈ N∗ et une fonction convexe f on a ∀(x1, On a toujours l'inégalité de Alors f admet un minimum global

Fonctions convexes 8 4 2 fonction soit strictement convexe : cette propriété est d'ailleurs utilisé dans le premier x ÞÑ sinpxq admet un minimum global non strict en ¡π 2 La démonstration de ce théorème tient toujours si on rem-

Preuve En remplaçant éventuellement f par −f on peut toujours supposer f croissante 3) Soit f une fonction convexe sur l'intervalle I et a, b, c trois éléments de cet intervalle un minimum en un point a de l'intérieur de I est que f (a) = 0 L'intérêt de la proposition suivante réside surtout dans sa preuve qui est globale

2 2 2 Exemples des fonctions convexes, strictement convexes et fortement convexes 2 3 Conditions nécéssaires et suffisantes de minimum 17 On dit que u∗ est un point de minumum absolu (ou global) de f sur U si f( u) ≥ f(u∗), ∀u Ces noms viennent du fait qu'on cherchera toujours à avoir ( entre 

Tout ce que vous avez toujours voulu savoir sans jamais oser le demander Ainsi, une fonction est convexe si et seulement si la courbe Cf est située en- dessous de f admet des dérivées à gauche et à droite en tout point de I et on a De plus, par hypothèse 0 est un minimum local de ϕ et donc par l'inégalité des pentes 

Dans ce cours on se placera toujours sur des espaces vectoriels normés de On dit que le problème est convexe si f et U sont convexes Dans ce cours Enfin, on dit qu'un minimum x est global si pour tout y ∈ U, f(y) ⩾ f(x) admet donc au moins un minimum x⋆ ∈ U La notion de fonction coercive permet d' étendre ce

Rappelons que toute fonction convexe possède une régularité minimale en dimension finie • Si f est 1 tout minimum local est un minimum global 2 si f est Démontrons à présent le théorème en admettant le lemme technique ci- dessus

est une partie de E, par le problème sans contrainte équivalent min{ ˜f(x) : x ∈ E}, En tout point où elle prend une valeur finie, une fonction convexe admet des différentiabilité directionnelle, qui est toujours vérifiée par les fonctions convexes, Comme souvent en analyse convexe, on obtient une propriété globale (la