On appelle voisinage de x0 un intervalle ouvert de la forme ]x0 − δ x0 + δ[ avec δ > 0 Démonstration Grâce `a la caractérisation séquentielle de la limite
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CONTINUITÉ
Théorème (Caractérisation de la continuité à l'aide des continuités à gauche/à droite) Soient f : D −→ une fonction et a ∈ D un point au voisinage duquel
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Continuité
1 2 Caractérisation séquentielle de la continuité en un point En utilisant la caractérisation séquentielle de la limite on montre le résultat suivant
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Limites et continuité
Découle directement de la définition de la continuité en a et de la caractérisation séquentielle de la limite Remarque On retrouve le théorème du point
C'est quoi la caractérisation séquentielle ?
Théorème (caractérisation séquentielle de la limite) : f admet pour limite ℓ en a si et seulement si, pour toute suite (xn) qui converge vers a , alors (f(xn)) ( f ( x n ) ) converge vers ℓ .
Quand Dit-on qu'une limite est continue ?
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T1) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.
Comment justifier la continuité d'une fonction ?
Si une fonction f f f est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b] alors, pour tout réel k k k compris entre f ( a ) f(a) f(a) et f ( b ) f(b) f(b), l'équation f ( x ) = k f(x)=k f(x)=k a une unique solution dans l'intervalle [ a ; b ] . [a; b ]. [a;b].
Autrement dit, on voit graphiquement qu'une fonction est continue en un point x0 si la courbe passe par le point M0(x0 ; ƒ(x0)) sans coupure. Sinon, la fonction est discontinue en ce point. Soit la fonction f définie sur par f(x) = x2+ 3x + 4 si x > 1 ; f(x) = 5 + 3x si x ≤ 1.
:
Alors f f admet une limite en a a si et seulement si f f admet une limite à droite et une limite à gauche en a a . Théorème (caractérisation séquentielle de la Autres questions
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La caractérisation séquentielle de la limite assure par ailleurs que f(u n) n+1 0 3 La fonction x7ex1 a pour réciproque ’: y7ln(1+y) de R+ dans R+ La fonction hvérifie aussi h(ln(1+y)) = h(y) pour tout y 0 Adapter le raisonnement des questions 1 et 2 en fixant x0 0 puis en considérant la suite vdéfinie par v0 = x0 et v n+1
D’après la caractérisation séquentielle des limites, lim n¯1 kun ¡ak˘ ° ° ° lim n¯1 (un ¡a) ° °˘k‘¡ak Et comme les inégalités larges passent à la limite, k‘¡akÉr, soit ‘2B(a,r) On procède de même pour la sphère En passant au complémentaire dans la propriété 1 2, on obtient
Il existe une caractérisation séquentielle des points adhérents à A, ainsi qu’une définition simple à l’aide de la fonction distance à A Proposition 1 2 Pour tout x 2E, et toute partie A de E, on a équivalence entre les trois affirmations suivantes : i) x est adhérent à A, ii)il existe une suite d’élements de A qui converge
2n)n 0 et utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité HHII Exercice 9 SF 7 — Trouver toutes les fonctions f: [0;1] Rcontinues telles que : f(0) = f(1) et 8x2[0;1];f(x2) f(x) HHHI Exercice 10 SF 7 —1 Démontrer que pour tout réel xet tout entier naturel nnon nul : sin x 2 n Yn k=1 cos x 2k = 1 2 sinx 2
— Caractérisation séquentielle des bornes — Limites et inégalités : gendarmes and Co — Suites monotone : TLM; la limite est la borne sup (resp inf) de (u n) — Suites adjacentes — Suites u n+1 = f(u n) : notion d’intervalle stable, de point fixe Exemples où f est croissante sur I, décroissante sur I Les questions de cours
Théorème 13 - Caractérisation séquentielle de la borne inférieure Démonstration On démontrera ce résultat dans un chapitre ultérieur Notons qu’avec ce résultat, l’exercice d’application précédent devient immédiat Exercice d’application 14 Déterminer, si ils existent, le minimum, le maximum, la borne inférieure
Caractérisation séquentielle d’une borne supérieure (resp in-férieure) Parties denses de R, cas des décimaux, des rationnels, des irrationnels La densité est hors programme en PCSI PCSI 2 2
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