un 1 un 2 2un 1

et ?n ? N 3un+2 = 4un+1 ? un. Exercice 2. ( ). On considère la suite (un) définie par. { u0 = 0. ?n ? N

On dit qu'une suite est définie de façon récursive lorsque Un + 1 est donné directement en fonction des termes précédents. EXEMPLE 2 : Un+1 = 2Un + 3 et U0 

Dans ce devoir on s'intéresse aux suites (un) qui vérifient la relation de récurrence : un+2 = un+1 +un. On note E l'ensemble des suites réelles qui 

2. un+2 = 6un+1 ? 9un u0 = 5

Solution – Suites Numériques – Sens de Variation – s4879. Soit u une suite définie sur IN par u0 = 1 et un + 1 = 2un. 2 + 3un . 1/ Calculer u1 u2 et u3 .

1. 2 et telle que pour tout entier naturel n un+1= 3un. 1+2un. 1. a. Calculer u1 et u2 . b. Démontrer

2un ? 1. 1. Par récurrence posons Pn := ”un > 1”. Initialisation : Pour n = 0 on a bien u0 = 2 > 1. Donc P0 est vraie. Hérédité : Soit n ? N et supposons 

Exercice 1. Montrer que toute suite convergente est bornée. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000506]. Exercice 2. Montrer qu'une suite d'entiers qui 

2 et vn+1 = ? un+1vn. Montrer que les suites (un) et (vn) sont adjacentes et que leur limite commune ?n ? N un+4 ?2un+3 +2un+2 ?2un+1 +un = n5.

1. u5 = 8 et ?n ? Nn ? 5

Exercice 2 Soit (un)n?N la suite arithmétique telle que u6 = 224 et u14 = 112 1 Déterminer la raison r puis le terme initial u0 de (un)n?N

Exercice 23 ( ) Soit (un)n?N la suite définie par u0 = 1 2 et un+1 = 2un un + 1 pour tout n ? N a Démontrer que la suite (un) est bien définie ( 

Exercice 2 Montrer qu'une suite d'entiers qui converge est constante à partir d'un certain rang Indication ? Correction ? Vidéo ? [000519] Exercice 3

Exercice 9 **T Récurrences homographiques Déterminer un en fonction de n quand la suite u vérifie : 1 ?n ? N un+1 = un 3?2un 2 ?n ? N un+1 =

2) (un) est une suite géométrique de premier terme u0 = 500 et de raison q = 104 3) u n+1 =104u n 4) q = 104 > 1 donc la suite (un) est croissante

1) Déterminer la raison et le premier terme de la suite (un) 2) Exprimer un en fonction de n 1) Les termes de la suite sont de la forme u n 

On considère la suite (wn)n?IN définie par w0 = – 2 et wn+1 = 1 2 On considère la suite (un) définie par u0 = 8 et un+1 = 2un – 3 pour tout n ? IN

1 2 En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite 2 2 1 Montrer que si 0 ? 2 alors pour 

18 déc 2016 · Si par la suite l'exercice demande de calculer u2 on raisonne de façon analogue On utilise à nouveau la relation un+1=f(un) en 

EXEMPLE 2 : Un+1 = 2Un + 3 et U0 = 1 Cette définition est pratique pour modéliser des situations concr`etes mais les termes successifs de la suites

On déduit 3un 1 + 2un > 0 au vu des opérations utilisées, donc un+1 > 0 On a déduit Pn+1 vrai, sous réserves que Pn le soit Conclusion : Pn est vrai pour tout n 

1 + 2un 1) a) Calculer u1 et u2 b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0

2 (un)n≥0 une suite géométrique de raison q donc ∀n ≥ 0, un = u0 × qr Donc, ∀n ≥ 1 u0 = 1, v0 = 2 et ∀n ∈ N, un+1 = 3un + 2vn et vn+1 = 3vn + 2un

termes précédents EXEMPLE 2 : Un+1 = 2Un + 3 et U0 = 1 Cette définition est pratique pour modéliser des situations concr`etes mais les termes successifs de  

2un − 1 un + 1 a Montrer que (tn) est une suite géométrique b En déduire une expression de tn puis de un Exercice 4 ( ) (des suites récurrentes croisées)

1+2un 1 a Calculer u1 et u2 b Démontrer , par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < un 2 On admet que pour tout entier naturel n, un < 1 a

2−2un un+4 = 1(un+2)−un (un+2) un+4 c'est-à-dire : un+1– un= 2(un−1) un +4 un+1+2= 3un+2 un+4 +2= 3un+2+2un+8 un+4 = 5un+10 un+4 = 5(un+2)

∀n ∈ N, un = 3n +2: un+1 − un = 3(n +1)+2 − (3n +2)=3 > 0 donc la suite est Soit la suite définie par u1 = 3 et ∀n ∈ N∗, un+1 = 2un Alors ∀n ∈ N, un = 3 

un +2 2un +1 On admet que pour tout entier naturel n, un > 0 1 a Calculer u1, u2,u3,u4 On pourra en donner une valeur approchée à 10−2 près u1 = 4 5

2un u 2 n= √ 2 un Comme on a démontré précédemment que un 2, alors 2 On a aussi pour tout entier naturel n,vn+1 = lnun+1 −ln2, mais un+1 = √2un