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Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Soit f : [a b] → R une fonction continue sur [a b] dérivable sur ]a b[ telle que f(a) = f(b) Alors il existe c ∈]a b[ tel que f (c)=0 Démonstration D |
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Corrigé du TD no 11
Montrer que f = g Réponse : Rappelons d'abord le résultat suivant : tout nombre réel est limite d'une suite de nombres rationnels autrement dit |
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Dérivation des fonctions
On dit qu'une fonction f est dérivable sur un intervalle I lorsque f est dérivable en tout point de I On note f la fonction dérivée de f qui à tout x ∈I |
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DÉRIVATION
Alors la fonction g définie sur I par g(x) = f (ax + b) est dérivable sur tout intervalle J tel que pour tout x ∈J ax + b ∈I et on a : g'(x) = af '(ax + b) |
Comment montrer que f est dérivable sur R ?
Une fonction f:I→R f : I → R est donc dérivable en a si et seulement s'il existe α∈R α ∈ R et une fonction ε définie dans un intervalle J ouvert contenant 0 , vérifiant limh→0ε(h)=0 lim h → 0 ε ( h ) = 0 tels que ∀h∈J, f(a+h)=f(a)+αh+hε(h). ∀ h ∈ J , f ( a + h ) = f ( a ) + α h + h ε ( h ) .
Comment montrer que f est dérivable en 1 ?
f (x) − f (1) x − 1 = 2 ; donc f est dérivable à droite et à gauche en 1 et fg (1)=fd (1)=2.
Ainsi f est dérivable en 1 et f (1)=2 ; • la courbe admet la droite d'équation y = 2x − 1 pour tangente au point de coordonnées (1, 1). donc la courbe admet une tangente verticale en l'origine.Comment justifier la dérivabilité d'une fonction ?
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point.
Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.- La dérivabilité se démontre usuellement de deux façons : dans l'étude locale (c'est-à-dire en se plaçant dans un voisinage du point étudié), en utilisant directement la définition de l'existence du nombre dérivé à l'aide de limites.
Pour démontrer que F est un sous-espace vectoriel de E , on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que 0E∈F 0 E ∈ F et que, pour tout couple (x,y)∈F2 ( x , y ) ∈ F 2 et tout scalaire λ∈K λ ∈ K , on a {x+y∈Fλx∈F.
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FONCTION EXPONENTIELLE
f ' = f f (0) = 1 exp(0) = 1. Page 2. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. Remarque : On prouvera dans le paragraphe II. que la |
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FONCTIONS DE REFERENCE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = x2 ? 8x + 3 est strictement. |
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Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Rappelons l'interprétation géométrique de la dérivée : si f est dérivable en x0 alors la courbe représentative de la fonction f admet une tangente au point |
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Cours de mathématiques - Exo7
La première condition signifie que le vecteur nul de E doit aussi être dans F. En fait il suffit même de prouver que. F est non vide. • La deuxième condition c |
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Montrer que (un)n est monotone et en déduire sa convergence vers une solution de l'équation f(x) = x. 2. Application. Calculer la limite de la suite définie par |
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CONVEXITÉ
La fonction f est convexe sur I si sur l'intervalle I |
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Une conjecture est une proposition que l'on suppose vraie sans parvenir à la démontrer. Les conjectures sont le moteur du progrès des mathématiques. |
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Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 1. Montrer que les ensembles ci-dessous sont des espaces vectoriels (sur R) : — E1 = {f : [01] ? R} : l'ensemble des fonctions à valeurs réelles |
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FONCTIONS COSINUS ET SINUS
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr Démontrer que la fonction f définie sur R par f (x) = sinx ? sin 2x. ( ) est impaire. |
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Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 11. Soient E et F deux ensembles f : E ? F. Démontrer que : ?A |
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Comment justifier la dérivabilité d'une fonction ?
Parfois, la fonction est définie par prolongement par continuité en ce point.
. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
. Pour justifier de la dérivabilité en ce point, on revient alors à la définition, en calculant le taux d'accroissement et en vérifiant s'il admet une limite, ou alors, si on connait, on applique le théorème de prolongement d'une dérivée.
Comment faire pour justifier en mathématiques ?
Les phrases doivent être courtes et précises.
. Il est inutile de trop rédiger, il faut aller à l'essentiel. c) Justifier toute affirmation : Une bonne démonstration mathématique implique de justifier tout ce qu'on avance, soit en utilisant son cours de maths, soit en utilisant les données de l'énoncé.
. Il est inutile de trop rédiger, il faut aller à l'essentiel. c) Justifier toute affirmation : Une bonne démonstration mathématique implique de justifier tout ce qu'on avance, soit en utilisant son cours de maths, soit en utilisant les données de l'énoncé.
Comment démontrer par récurrence une suite ?
La démonstration par récurrence consiste : D'abord, à vérifier que la propriété est vraie au rang 0 (i.e. on vérifie que H(0) est vraie).
. Dans notre exemple des dominos, cela revient à vérifier que le premier domino (le domino numéro 0) tombe.
. Cette étape s'appelle l'initialisation.
. Dans notre exemple des dominos, cela revient à vérifier que le premier domino (le domino numéro 0) tombe.
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