Demontrer que la racine carre de 2 n'est pas un nombre rationnel 3ème Mathématiques


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  • Comment montrer que la racine de 2 ?

    Écrivons √2 sous la forme d'une fraction irréductible (on peut imaginer que l'on simplifie ab si nécessaire).
    On obtient alors √2=pq où p et q sont des nombres entiers relatifs qui sont premiers entre eux.
    De l'égalité √2=pq, on déduit (en élevant au carré) que 2=p2q2 et donc que p2=2q2.

  • Comment montrer que √ 2 est rationnel ?

    Proposition P : √ 2 est rationnel.
    Soit P est vraie soit P est vraie.
    Si P est vraie, il existe deux entiers naturels non nuls p et q tels que √ 2 = p q et p et q le plus petit possible. d'harmonie (2q p = 2q √ 2q = √ 2 ) .

  • Comment démontrer l'irrationalité de racine de 2 ?

    Par hypothèse, on a : ∃(p, q) ∈ N × N∗/ √ 2 = p q avec p q fraction irréductible.
    En élevant cette égalité au carré, on obtient 2 = p2 q2 , soit encore : 2q2 = p2.
    Ainsi, comme q2 est un entier, on en déduit que 2q2 est un entier pair et 1 Page 2 on peut conclure : p2est nécessairement un entier pair.

  • Où l'on démontre que racine de 2 ne peut pas être le quotient de deux entiers et que c'est donc un nombre irrationnel.
Nous allons démontrer que √2 est un nombre irrationnel, c'est-à-dire que c'est un nombre réel qui n'est pas un nombre rationnel. Prérequis n°3 : raisonnement  Autres questions
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Nous allons démontrer que ?2 est un nombre irrationnel, c'est-à-dire que c'est un nombre réel qui n'est pas un nombre rationnel.

Comment démontrer que racine de 2 n'est pas rationnel ?

Ils sont donc tous les deux divisibles par 2 et ne sont donc pas premiers entre eux (car ils ont un diviseur commun différent de 1 et ?1).
. Ceci est une contradiction (étape n°2).
. Ainsi, ?2 ne peut pas être un nombre rationnel ; c'est donc un nombre irrationnel.

Comment montrer que ? n n-1 n'appartient pas à q ?

C'est facile.
. Déjà n(n+1)(n+2) divise par 3.
. Car soit n, soit n+1, soit n+2 divise par 3.
. Donc en général, si l'on prend 3 nombre successifs, l'un d'entre eux divisera par 3.

Est-ce que racine carrée de 2 est un nombre rationnel ?

La réponse est non : Théorème. – La racine carrée de 2 n'est pas un nombre rationnel.









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Démontrer que racine carrée de 2 est un nombre irrationnel - YouTube

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