n(n+1)/2 demonstration

2n2 − (n + 1)2 = 2n2 − n2 − 2n − 1 = n2 − 2n − 1 C'est un Notons pour tout n, Pn, Qn et Rn les propriétés Pn : ( an = n(n + 1) 2 ) Qn : ( bn = n(n + 1)(2n + 

n(n + 1)/2 n ∑ k=1 k =1+2+ ··· + n = n(n + 1) 2 (4) Démonstration : Nous donnons d'abord la démonstration par récurrence Nous verrons ensuite une 

+(−1)n+1n2 = (−1)n+1 n(n+1) 2 c) 13 +23 +33 + +n3 = n2 (n+1)2 4 d) En comparant les réponses a) et c), compléter cette célèbre égalité : k = ∑( ) k= 1

n(n +1) 2 pour tout entier n )) La démonstration par récurrence se fait en trois k à la valeur de l'indice k +1 On dit que la propriété est héréditaire Page 1/2 

2) = 6, car les sous-ensembles à 2 éléments de {1, 2, 3, 4} sont {1, 2}, {1, 3}, {1, 4 }, {2, 3}, {3, 4} et il y en a 6 Démonstration Nous avons n Par exemple : n ∑ k=0 1 = 1 + 1 + + 1 = n + 1 n ∑ k=0 k = 0 + 1 + 2 + + n = n(n + 1) 2 n ∑

+ (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2 6 = (n + 1)(n(2n + 1) + 6(n + 1)) 6 = (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) 6 donc la propriété est vraie au rang n + 1, ce qu'on 

k = n(n + 1) 2 On peut donner plusieurs démonstrations directes 1ère demonstration Pour k ⩾ 1, (k + 1)2 − k2 = 2k + 1 et donc n ∑ k=1 ((k + 1)2 − k2) = 2 n

Donc, la suite (un+1 − un)n∈N n'est pas constante si et seulement si il Supposons que un existe et 1 ⩽ un < 2 et montrons que un+1 existe et 1 ⩽ un+1 < 2 visualiser sur le dessin de la démonstration 2 le fait que les sommes 1 + n, 2 + 

n n S + = quel que soit n, il y a deux démonstrations à faire : • On montre que la formule est vraie au rang initial n = 1 : en effet 1 = (1 2) / 2 • On suppose la