CONCOURS INTERNE ET CAER Section MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ÉPREUVE Durée : 6 heures ____ L’usage de tout ouvrage de référence de tout dictionnaire et de tout matériel électronique (y compris la calculatrice) est rigoureusement interdit A
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Programme de lagrégation interne de mathématiques
Vocabulaire de la théorie des ensembles Produit d’un nombre fini d’ensembles Applications Rela-tions d’ordre Ensemble N des entiers naturels Ensembles dénombrables Dénombrabilité de l’union d’une suite d’ensembles dénombrables Relations d’équivalence et ensemble quotient
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Paris Diderot University
If you are preparing for the internal aggregation exam in mathematics you may want to download this comprehensive and updated course on analysis by Georges Skandalis from Paris Diderot University It covers topics such as sequences functions integrals series differential equations and more
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Préparation à l’Agrégation Interne
Préparation à l’Agrégation Interne Vincent GUEDJ 26 janvier 2021 2 Tabledesmatières 1 Algèbrelinéaire:généralités 3
Quelle est la différence entre l'agrégation interne et externe ?
Le concours interne s'adresse aux enseignants et professeurs fonctionnaires justifiant de cinq années de service public et d'un diplôme de master (ou équivalent). Le concours externe s'adresse aux étudiants ou professionnels en reconversion titulaires d'un diplôme de master (ou équivalent).
Qui peut passer l'agreg interne ?
le concours interne concerne les fonctionnaires qui peuvent justifier de cinq années de services publics et qui détiennent un diplôme de master (ou équivalent).
Environnement de travail et perspectives de carrière. Un professeur agrégé peut donc enseigner dans des collèges, des classes préparatoires aux grandes écoles, BTS, des centres de formation et des universités. Il assure 15 heures de cours hebdomadaires en plus des heures de travail en dehors de la classe.
Quel niveau pour l'agreg ?
Pour vous inscrire à l'agrégation, il vous faut être titulaire d'un master (bac + 4), du Capes ou du Capet,ou encore d'un diplôme d'école d'ingénieurs ou de commerce , etc. N'est pas agrégé qui veut.
1 Ensembles et logique
Vocabulaire de la théorie des ensembles. Produit d’un nombre fini d’ensembles. Applications. Rela-tions d’ordre. Ensemble N des entiers naturels. Ensembles dénombrables. Dénombrabilité de l’union d’une suite d’ensembles dénombrables. Relations d’équivalence et ensemble quotient.
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2 Algorithmique et informatique
Notions de variable et de type. Instructions d’a ectation, conditionnelles, d’itération. Fonctions et procédures (ou sous-programmes) : définition, passage de paramètre, variables locales, notion de récursivité. Rédaction en français ou dans un langage au choix du candidat de pro-grammes ne comportant qu’un faible nombre d’instructions et pouvant u
3.1 Extensions successives de la notion de nombre
Anneau Z des entiers relatifs. Division euclidienne. Sous-groupes additifs et idéaux de Z. Nombres premiers. Décomposition en facteurs premiers. Plus grand commun diviseur (PGCD) et plus petit commun multiple (PPCM). Théorème de Bachet-Bézout. Algorithme d’Euclide étendu. Congruences. Applications arithmétiques des anneaux quotients Z=nZ. Théorème
3.2 Anneaux et corps
Définition (les anneaux sont supposés unitaires par définition). Formule du binôme pour des éléments commutables. Idéaux d’un anneau commutatif. Anneaux quotients. Anneaux commutatifs intègres. Morphismes d’anneaux. Isomorphisme entre Im( f) et A Ker( = f) pour f morphisme d’anneaux de A dans A0. Anneaux principaux. Exemple des entiers de Gauss, ap
3.3 Polynômes à une indéterminée sur un corps commutatif K
Algèbre K[X]. Division euclidienne. Idéaux de K[X]. Plus grand commun diviseur (PGCD) et plus petit commun multiple (PPCM). Théorème de Bézout. Algorithme d’Euclide. Polynômes irréductibles. Décomposition en produit de facteurs irréductibles. Fonctions polynômes. Racines, ordre de multiplicité, polynômes scindés. Correspondance entre po-lynômes et
3.4 Fractions rationnelles sur un corps commutatif K
Corps K(X) des fractions rationnelles. Forme irréductible. Fonctions rationnelles, zéros, pôles, ordre de multiplicité des zéros et pôles. Décomposition en éléments simples. Cas où le corps est R ou C. Exemples simples de problèmes d’élimination; applications à la géométrie.
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4 Groupes et géométrie
Les diverses notions sur les groupes ont vocation à être illustrées dans des situations géométriques (par exemple, isométries d’un tétraèdre régulier, d’un cube, etc.). Groupes, morphismes, sous-groupe engendré par une partie. Groupes cycliques, ordre d’un élément. Théorème de Lagrange. Sous-groupe distingué (ou normal). Groupe quotient. Image et n
5.1 Espaces vectoriels et algèbres
Définitions. Applications linéaires. Espace vectoriel (E F). ; Algèbre (E). Groupe linéaire GL(E). L Espace produit d’une famille finie d’espaces vectoriels. Sous-espaces vectoriels. Espaces vectoriels quotients. Image et noyau d’une application linéaire. Sous-espace engendré par une partie. Somme d’un nombre fini de sous-espaces. Sous-espaces en s
5.2 Espaces vectoriels de dimension finie
Définition. Théorèmes de la dimension, de la base incomplète. Dimension d’un sous-espace. Dimen-sion du quotient E F = lorsque F est un sous-espace vectoriel de E. Rang d’une famille de vecteurs. Existence de supplémentaires. Formule liant les dimensions de la somme et de l’intersection de deux sous-espaces. Rang d’une application linéaire. Théorèm
5.3 Matrices
Espaces Mp q(K) des matrices à p lignes et q colonnes à coe cients dans K. Isomorphisme canonique ; avec (Kq Kp). Produit matriciel. Matrices inversibles. Groupe GL(n K). L ; ; Matrice d’une application linéaire entre espaces vectoriels munis de bases. Matrice de passage. Rang d’une matrice. Matrices équivalentes et caractérisation par le rang. Tai
5.4 Systèmes d’équations linéaires et opérations élémentaires
Systèmes d’équations linéaires, matrice associée. Systèmes de Cramer. Applications à des problèmes de géométrie. Opérations élémentaires sur les lignes ou les colonnes d’une matrice. Application des opérations élémentaires à la résolution de systèmes linéaires, au calcul du rang et à l’inversion de matrices (méthode du pivot de Gauss). Applications
5.5 Déterminants
Dimension de l’espace des formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n. Déterminant d’une famille de n vecteurs relativement à une base. Déterminant d’un endomorphisme, d’une composée d’endomorphismes. Caractérisation des automorphismes. Déterminant d’une matrice carrée. Déterminant de la transposée d’une matrice, du produit
5.6 Dualité
Formes linéaires et hyperplans. Équations d’un hyperplan. Dual E d’un espace vectoriel E. Base duale d’une base. Application aux polynômes d’interpolation de Lagrange. Bijection, à l’aide de l’or-thogonalité, entre l’ensemble des sous-espaces de E et l’ensemble des sous-espaces de E . Orthogonal d’une somme ou d’une intersection de deux sous-espace
5.7 Réduction des endomorphismes
Sous-espaces stables par un endomorphisme. Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme; endomorphismes diagonalisables. Algèbre K[u] des endomorphismes polynomiaux en un endomorphisme u de E. Polynôme annulateur, polynôme minimal. Décomposition des noyaux. Polynôme caractéristique d’un endomorphisme, d’une matrice car
5.8 Cas où le corps K est R ou C
Application du théorème d’équivalence des normes en dimension finie à la topologie de (E). L Définition de exp(u), application aux systèmes di érentiels linéaires à coe cients constants. Exemples de parties denses de (E) : GL(E) est un ouvert dense de L (E); si K C, l’ensemble des L = endomorphismes diagonalisables est dense dans (E). L
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5.9 Formes quadratiques
Formes bilinéaires symétriques. Formes quadratiques. Morphisme de E vers E canoniquement associé à une forme bilinéaire. Matrice relativement à une base. Matrices congruentes. Bases orthogonales. Décomposition en carrés (méthode de Gauss). Loi d’inertie et signature dans le cas réel. Application aux coniques et quadriques. Application à l’analyse d
6 Algèbre linéaire euclidienne et hermitienne
Les espaces vectoriels sont tous supposés de dimension finie.
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6.1 Espaces euclidiens
Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire; norme euclidienne. Identité du parallélo-gramme. Isomorphisme canonique avec le dual. Orthogonalité. Bases orthonormales. Orthonormali-sation de Schmidt. Projecteurs orthogonaux, symétries orthogonales. Adjoint d’un endomorphisme et matrice associée dans une base orthonormale. Groupe orthogonal
6.3 Calcul matriciel et normes euclidiennes
Projection orthogonale d’un vecteur sur un sous-espace. Matrice de Gram. Distance d’un point à un sous-espace. Problème des moindres carrés.
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6.5 Espaces hermitiens
Inégalité de Cauchy-Schwarz et inégalité triangulaire; norme hermitienne. Sommes directes ortho-gonales. Bases orthonormales. Adjoint d’un endomorphisme, matrice dans une base orthonormale. Endomorphismes hermitiens. Groupe unitaire U(E) et spécial unitaire SU(E). Réduction d’un endomorphisme hermitien, endomorphismes hermitiens positifs, applicati
7 Géométrie a ne réelle en dimension finie
Définition d’un espace a ne réel. Espace vectoriel associé. Sous-espaces a nes, direction d’un sous-espace a ne. Droites, plans, hyperplans. Repères. Orientation. Volume algébrique d’un parallélépipède orienté. Applications a nes. Projecteurs. Groupe a ne. Isomorphisme entre le stabilisateur d’un point et le groupe linéaire. Symétries. Groupe des h
8.1 Préliminaires
Pour toutes les situations géométriques, on distinguera les propriétés de caractère a ne et celles de nature métrique (ou euclidienne), ainsi pour les coniques ou pour certaines notions di érentielles (tangentes, normales, courbure, etc.). Exemples d’utilisation de repères pour traiter des problèmes de géométrie.
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8.3 Géométrie plane
Propriétés angulaires du cercle (angles au centre, angles inscrits) et applications. Géométrie du triangle, éléments remarquables. Exemples de relations métriques et trigonométriques dans le triangle. Utilisation des nombres complexes : a xe d’un point dans un repère orthonormé direct, équations de droites et de cercles. Exemples d’applications géo
8.4 Coniques
Définitions bifocale et par foyer et directrice. Classification par l’excentricité. Équations réduites. Image par une application a ne et classification a ne : ellipse, parabole, hyperbole. Équations polaires des coniques propres lorsque l’origine est en un foyer. Exemples de propriétés géométriques communes ou spécifiques à chaque genre. Sections
9.1 Nombres réels, nombres complexes
Corps R des nombres réels et C des nombres complexes. Suites convergentes, divergentes, suites extraites, valeurs d’adhérence. Opérations sur les limites. Toute partie non vide majorée de R possède une borne supérieure. Toute suite croissante majorée est convergente. Suites adjacentes, théorème des segments emboités. Droite numérique achevée. Compl
9.2 Séries de nombres réels ou complexes
Séries à termes positifs. La série converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée. Étude de la convergence par utilisation des relations de comparaison, comparaison à une série géométrique, à une série de Riemann. Sommation des relations de prépondérance et d’équivalence pour les séries convergentes et divergentes. Comparais
9.3 Continuité
Estimation ponctuelle : n-échantillon d’une variable aléatoire; estimateur, biais d’un estimateur, es-timateur asymptotiquement sans biais; estimateur convergent, risque quadratique; moyenne empi-rique, variance empirique. Estimation par un intervalle : intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique. Estimation du paramètre d’une loi
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