COURS ET EXERCICES DE MATHEMATIQUE FKM 2014 Page 2 Ce livre s’adresse aux élèves des classes de Première S Conforme aux Programmes officiels en vigueur dans les séries S1 S2 et S3 il a pour but de leur présenter les connaissances indispensables et de mettre à leur disposition de nombreux exercices et
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Cours de math matiques
On ne traitera ici que de fonctions d’une partie de vers De telles fonctions sont déterminées par leur en-semble de départ (parfois implicite) et par le mécanisme qui à un élément x associe son image par la fonction
Quels sont les cours de mathématiques ?
COURS DE MATHÉMATIQUES - PREMIÈRE S APPLICATION ET GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS. — Déterminer graphiquement l’image directe et l’image réciproque d’une partie d’un ensemble. — Reconnaître graphiquement une application bijective. — Déterminer l’application réciproque.
Comment réussir son année de première en maths ?
Des cours de maths en 1ère destinés aux élèves désireux de réviser leur leçon en ligne ou aux professeurs à la recherche de ressources. L’assimilation du contenu d’un cours est primordial afin de réussir son année de première, il faut maîtriser les définitions, les théorèmes ainsi que, les propriétés abordées en classe.
I.1 Générailités sur les fonctions
On ne traitera ici que de fonctions d’une partie de vers . De telles fonctions sont déterminées par leur en-semble de départ (parfois implicite) et par le mécanisme qui à un élément x associe son image par la fonction.
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I.1.1 Égalité de deux fonctions
Le théorème suivant est une conséquence immédiate de la définition d’une fonction numérique à variable réelle.
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THÉORÈME I.1.1
Soit f et g deux fonctions d’ensembles de définitions respectifs Df et Dg. Les fonctions f et g sont égales si, et seulement si : Df = Dg et, pour tout x ∈ Df ,
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f (x) = g(x).
Remarque En particulier deux fonctions sont égales si, et seulement si, leurs représentations graphiques relativement à un repère donné sont confondues.
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Exercice I.1.1.
Démontrerque les fonctions f et g définiespar lesexpressionsci-dessous sont égales.
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Opérations sur les fonctions
f et g sont deux fonctions ayant le même ensemble de définition D. Opération Produit par un réel λ Somme de fonctions Combinaison linéaire (avec α ∈ et β ∈ Inverse d’une fonction (lorsque f ne s’annule pas sur D) Quotient de deux fonctions (lorsque g ne s’annule pas sur D) Notation λf
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Compositions de fonctions
Soit f une fonction et I un sous-ensemble de son ensemble de définition, on désignera par f (I) l’ensemble décrit par f (x) lorsque x décrit I :
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Rappels
Les définitions suivantes ont été vues en classe de Seconde. I.1. Générailités sur les fonctions 9 ✪ ✪ DÉFINITIONS I.1.2 Soit f une fonction et I un intervalle inclus dans son ensemble de définition. On dit que f est strictement croissante sur I lorsque pour tous éléments a et b de I on a : < b =⇒ f (a) < f (b). On dit que f est strictement décrois
DÉFINITION I.1.3
⇐= f (a) < f (b); ce qui achève la démonstration de la propriété. f (a) Ê f (b); Étudier le sens de variation d’une fonction, c’est déterminer les intervalles maximaux sur lesquelles la fonction est strictement croissante, strictement décroissante ou constante. ✪ I.1.4.b Sens de variation et composition ✪ Soit f une fonction, I un intervalle inclus
THÉORÈME I.1.3
une fonction dont l’ensemble de (I) alors g ◦ f inversera successivement deux est une fonction strictement monotone sur Si f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I et si f (I), alors g ◦ f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I; plus précisément, le sens de variation de g f est donné dans le tableau ◦ ci-dessou
I.3 Parité, périodicité
Désormais, dans ce chapitre, le plan est muni d’un repère orthogonal (O;ı, ).
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f (−x) = −f (x) .
Interprétation graphique Les fonctions paires sont les fonctions dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (noté Oy) et les fonctions impaires sont les fonctions dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l’origine du repère. axe de symétrie C f x O ı −x (−x) f (x) C f (−x) ı O −x
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DÉFINITION I.3.3
Soit f une fonction, Df son ensemble de définition et p un nombre réel. La fonction f est dite périodique de période p lorsque : pour tout x ∈ : pour tout x ∈ Df : ∈ Df ⇐⇒ x +p ∈ Df . (x +p) = f (x) Interprétationgraphique Les fonctions périodiques de période p sont les fonctions dont la représentation graphique est globalement invariante par la
Axe de symétrie d’une courbe
Une observation graphique permet d’énoncer les théorèmes suivants que nous admettons. ✪
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THÉORÈME I.4.4 ✪ ✪ Soit C
la représentation graphique d’une fonction f relativement à un repère orthogonal O;ı, et le point de coordonnées (a,b). La courbe C est symétrique par rapport à si et seulement si C est la représentation graphique d’une fonction impaire relativement au repère ;ı, .
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Solution
Soit M un point du plan, (x,y) ses coordonnées dans le repère repère ;ı, . On a donc : O;ı,
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I.5 Expressions analytiques de quelques transformations
Pour chaque transformation, t, étudiée, M′(x′,y′) désignera l’image de M(x,y). L’expression analytique de t est l’expression de x′ et y′ en fonction de x et y.
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I.5.1 Expression analytique d’une translation
Désignons par tv la translation de vecteur v μa b . On a pour tout point M(x,y) d’image M′(x′,y′) :
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−−−→ OM′ = −−→ OM +v.
On sait que deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont les mêmes coordonnées on en déduit l’expression analytique de t : x′ = y′ +a . +b =
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I.5.3 Quelques expressions analytiques
Plus généralement, un graphique adapté permet de retrouver les expressions analytiques suivantes :
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