0 parmi n+1

n k) (qui se lit « k parmi n ») Théorème (loi binomiale) Soit X une variable aléatoire qui tout entier naturel k tel que 0 ≤ k ≤ n, p(X = k) = ( n k) pk(1 − p)n− k

— Pour tout k ∈ {0, 1,,n}, le nombre de chemins fournissant k suc cès sur les n répétitions est (n k ) (« k parmi n ») On peut démontrer que (n k ) = n k (n − k  

(1 + z)n = n ∑ k=0 (nk)zk Si l'on écrit le développement en série entière à l' origine de (1 façons de choisir k épreuves réussies parmi n, on obtient bien

Définition 1 Pour des entiers 0 ⩽ k ⩽ n, on note (n k) (et on prononce « k parmi n ») le nombre de manières de choisir un sous ensemble à k éléments d'un 

On pose 0 1 Démonstration On a n choix possibles pour le premier terme, n 1 choix p) tirages possibles de p boules parmi n boules, ces tirages étant

n ∑ k=0 2k désigne la somme 20 + 21 + 22 + 23 + ··· + 2n−1 + 2n car l'objet rouge ayant été retenu, il reste k−1 objets à choisir parmi les n−1 autres Voici 

I = 0,m × 1,n = (i, j) 0 ⩽ i ⩽ m et 1 ⩽ j ⩽ n , la somme ∑ Définition (Coefficients binomiaux) Pour tous n ∈ et k ∈ , on appelle (coefficient binomial) k parmi n, 

d'une ensemble en contenant n (il se lit « p parmi n ») Les coefficients (n p ) sont appelés coefficients binomiaux Remarques 1 – ∅ est la seule partie de E à 0 

n+1 candidats pour constituer une équipe En distinguant les cas où le premier 1 Par convention, il y a 1 manière (et non 0) de choisir 0 éléments parmi n

1 n n ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = 1 n 1 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = n Démonstrations Il n'y a qu'un seul chemin correspondant à 0 succès parmi n épreuves (Echec, Echec,