comment montrer que deux sous espaces vectoriels sont en somme directe

Donner tous les sous-ensembles de E 2 ) Montrer, par r´ecurrence sur n, qu’un ensemble a n ´el´ements a 2n sous-ensembles 3 ) Soient A et B des sous-ensembles d’un ensemble E Montrer que (A ⊂B si et seulement si P(A) ⊂P(B)) 3 Intersection et r´eunion D´efinition 1 3 – Soient A et B deux sous-ensembles d’un ensemble E Taille du fichier : 665KB

(1)(Laclédenombreuxexos)Montrerquelenoyaudumorphisme ρ: G→Bij(G/H) ’S n associéà cette action est le plus gros sous-groupe de Hdistingué dans G, et que de plus il est d’indice fini dansG (2)Application1 Montrerqu’ungroupenon-abéliend’ordre6 estisomorpheàS 3

Montrer que les ensembles Ac,Bc,A∩B,A∪B,A\B et B\A sont des intervalles ou des r´eunions d’intervalles et pr´eciser lesquels 2 ) Soient A et B des sous-ensembles d’un ensemble E Montrer que les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : – 10 –

ThØorŁme 1 La somme F+Gde deux sous-espaces vectoriels Fet Gd™un espace vectoriel Eest un sous-espace vectoriel de E: DØmonstration On utilise le thØorŁme 45 1 de TLM1 On a - F+ GˆEpuisque tout ØlØment hde F+ Gs™Øcrit h= f+ g;avec fdans F(donc dans E) et gdans G(donc dans E), et que la somme de deux ØlØments de Eest un ØlØment de E: - Le vecteur nul 0est dans F+G: en e⁄et 0

Montrer que l’intersection de deux sous-groupes et de est un sous-groupe de Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6 Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé 2 Montrer que les ensembles muni de l’addition sous des sous-groupes de ( ) Allez à : Correction exercice 6 Exercice 7 Soit ( )un groupe, et soit son élément neutre 1 Soient , déterminer ( ) On suppose que pour tout , 2 Taille du fichier : 1MB

1 Soient F et G deux sous-espaces de E Montrer que F [G est un sous-espace vectoriel de E F ˆG ou G ˆF: 2 Soit H un troisième sous-espace vectoriel de E Prouver que G ˆF =)F \(G+H)=G+(F \H): 1 Indication H Correction H Vidéo [000893] 2 Systèmes de vecteurs Exercice 6 1 Soient v 1 =(2;1;4), v 2 =(1; 1;2) et v 3 =(3;3;6) des vecteurs de R3, trouver trois réels non tous nuls a;b;g tels Taille du fichier : 198KB

deux sous-ensembles de ℝ3 On admettra que est un sous-espace vectoriel de ℝ3 Soient =(1,1,1), =(1,0,1) et =(0,1,1) 1 Montrer que est un sous-espace vectoriel de ℝ3 2 Déterminer une famille génératrice de et montrer que cette famille est une base 3 Montrer que { , } est une base de 4 Taille du fichier : 611KB

Exercice 2 Montrer que tout ouvert de R est union d´enombrable d’intervalles ouverts deux a deux disjoints (Indication : si x∈ Oouvert, consid´erer J x = ∪ des intervalles ouverts, ⊂ Oet 3 x) D´ecrire de mˆeme les ouverts de Rn Exercice 3 On va montrer que l’ensemble Ddes r´eels de la forme p+ q √ 2 ou` pet qd´ecrivent Z, est dense dans R 1 Remarquer que Dest stable par

Montrer que det(u+v)=detu Correction H [005657] Exercice 8 **** Soit A une matrice carrée de format n Montrer que A est nilpotente si et seulement si 8k 2[[1;n]], Tr(Ak)=0 Correction H [005658] Exercice 9 *** I Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie vérifiant fg gf = f Montrer que f est nilpotent

Les deux sous-espaces vectoriels Im(u) et Ker(u) permettent de mesurer le caractère injectif ou surjectif de l'application u Proposition 1 5 Soit u: EF un morphisme de R-espaces vectoriels 1 Il est surjectif si et seulement si Im(u) = F 2 Il est injectif si et seulement si Ker(u) = f0 Eg Preuve Le premier point n'est ni plus ni moins que la dé nition d'une surjection Pour le second