comment montrer que f est un sous espace vectoriel

1 Montrer que f est impaire et continue sur 2 Montrer que f est de classe C1 sur 3 Donner le tableau des variations de f 4 (Q GpGXLUH O¶H[LVWHQFH G¶XQH DSSOLFDWLRQ UpFLSURTXH GH f impaire Correction 1 La fonction f est définie sur intervalle symétrique par rapport à 0 donc xx, x 2 112 si 0 0 si 0 eex x fx fxx xx x ­ ° z Taille du fichier : 494KB

Montrer que G est un supplémentaire de F dans E Indication pourl’exercice14 N Pour une suite (u n) qui converge vers ‘ regarder la suite (u n ‘) 5 Correction del’exercice1 N Pour qu’un ensemble E, muni d’une addition x+y 2E (pour tout x;y 2E) et d’une multiplication par un scalaire l x 2E (pour tout l 2K, x 2E), soit un K-espace vectoriel il faut qu’il vérifie les huit Taille du fichier : 198KB

1 Il est surjectif si et seulement si Im(u) = F 2 Il est injectif si et seulement si Ker(u) = f0 Eg Preuve Le premier point n'est ni plus ni moins que la dé nition d'une surjection Pour le second point, raisonnons en deux temps Supposons uest injective Si x2Ker(u) alors u(x) = 0 F D'autre part, on sait que u(0 E) = 0 F donc u(x) = u(0 E

Exercices corrig´es Th´eor`eme de Rolle, accroissements finis 1 Enonc´es Exercice 1 D´emonstration du th ´eor `eme des accroissements finis Soit f: [a,b] → R, continue sur [a,b], d´erivable sur ]a,b[ En appliquant le th´eor`eme de Rolle a la fonction F : [a,b] → R d´efinie par F(x) = f(x)− f(b)−f(a) b−a (x−a), montrer qu’il existe c ∈ ]a,b[ tel que f0(c) = f(b)−f

2) = f 1(f(x 2)) = x 2 L’implication à montrer s’écrit donc : f(x 1) f(x 2) carfestcrois-sante Lecaractèrecontinudef 1,plustechnique,n’estpasdémontréici Remarque Le point a) est une conséquence du TVI et est essentiel pour démontrer

Les deux premiers exercices qui suivent donnent des conditions equivalentes pour d eterminer si une famille nie est libre ou li ee Exercice 1 (*) On consid ere F= fx 1;:::;x pgune famille de vecteurs de Rn, et on note A la matrice de taille n pdont les colonnes sont les vecteurs x 1;:::;x p D emontrer que les conditions suivantes sont equivalentes 1 La famille Fest li ee 2 Il existe un

3 Montrer que la convergence de la suite (f n) n2N vers 0 est uniforme sur l’intervalle hˇ 2;+1 h 4 On se propose maintenant de montrer que la convergence de la suite (f n) n2N vers 0 est encore uniforme sur l’intervalle h 0; ˇ 2 i (a)Calculer, pour tout n 1, la d eriv ee de la fonction f n (b)Montrer que : 8x2 0; 1 n ;f0 n (x) >0 (c Taille du fichier : 284KB

kxkF = inf{kakE f(a) = x} 1) Montrer que l’on obtient de cette manière une norme sur F rendant f continue si et seulement si Kerf est fermé dans E 2) On suppose dans cette question que F = R et donc que f est une forme linéaire non nulle sur E, de noyau H Montrer que – ou bien, pour tout x réel, kxkR = 0, – ou bien il existe a 0

Montrer que : (est injective si et seulement si ker )={0 } Allez à : Correction exercice 24 Exercice 25 Soit : → une application linéaire et un réel 1 Soit ????=ker( − ???? ) Calculer ( ) pour ∈ ???? Montrer que est un sous-espace vectoriel de 2 Soit ⊂ un sous-espace vectoriel de , montrer que ( )est un sous-espace vectoriel de 3 Si ≠0, montrer que ( ????)= ???? Allez �Taille du fichier : 1MB