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4 Matrices
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Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique
Inverse d'une matrice Critère d'inversibilité : le déterminant Quelques exemples det( ( 4 3 -1 2 ) ) = 11 donc la matrice est inversible det( ( 4 -1 - |
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Inverse dune matrice carrée
Nous nous intéressons ici aux matrices carrées (autant de lignes que de colonnes) en vue de la résolution de Ax = b (autant d'équations que d'inconnues) |
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On se ramène tout d'abord à une matrice triangulaire supérieure On utilise des pivots dans chaque colonne Si on ne trouve pas de pivot on effectue un échange |
Comment montrer qu'une matrice 3x3 est inversible ?
Solution détaillée.
On peut calculer directement le déterminant de A α en le développant suivant la troisième ligne ou la troisième colonne.
Dans ce cas la matrice est inversible et son rang est égal à 3.
Lorsque α ∈ { 0 , π } le rang de A α est strictement inférieur à 3.Comment calculer l'inverse d'une matrice carrée d'ordre 3 ?
On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss.
On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ⇔ X = A ′ Y .
On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ′ Y on en déduit A A ′ = I 3 .
De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ′ A X et donc A ′ A = I 3 .Comment calculer la matrice 3x3 ?
Pour calculer le déterminant d'une matrice 3 × 3 , nous pouvons utiliser la méthode de développement par les cofacteurs en choisissant une ligne ou une colonne spécifique de la matrice, en calculant les mineurs pour chaque élément de celle-ci et en alternant les signes en fonction des cofacteurs.
- Définition d'une matrice inversible
Déterminer si une matrice carrée \\(A \\in \\mathcal{M}_n(\\mathbb{R})\\) est inversible, c'est déterminer s'il existe une matrice \\(B \\in \\mathcal{M}_n(\\mathbb{R}) \\) telle que \\(AB = BA = I_n \\).
Dans ce cas, la matrice \\( B \\) est l'inverse de \\( A \\), et on note \\( B = A^{-1} \\).
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Remarque : • La notion de matrice inversible n'a de sens que pour des matrices carrées. • Une matrice inversible admet un unique inverse :. |
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Annexe 3 : Inversion de matrices par la méthode du pivot de Gauss
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Pour cela, multipliez M et M-1. La théorie veut que : M x M-1 = M-1 x M = I, I étant la matrice identité, c'est-à-dire une matrice dans laquelle la diagonale est constituée de 1, les autres valeurs étant des 0.Comment montrer que la matrice est inversible ?
Une matrice réelle dont toutes les colonnes sont orthogonales deux à deux est inversible si et seulement si elle n'a aucune colonne nulle. Un produit de deux matrices carrées est inversible si et seulement si les deux matrices en facteur le sont aussi.- On résout ( S ) par la méthode du pivot de Gauss. On a donc pour toutes matrices X et Y de M 3 , 1 ( R ) l'équivalence A X = Y ? X = A ? Y . On a donc pour toute matrice Y de M 3 , 1 ( R ) , Y = A A ? Y on en déduit A A ? = I 3 . De même pour toute matrice X de M 3 , 1 ( R ) , X = A ? A X et donc A ? A = I 3 .
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