148 Soit A un anneau commutatif unitaire 1 Anneau des séries formelles 1 1 Définition valuation [Goblot] Définition 1 Série formelle
Anneau des séries formelles Applications · composition de séries formelles: une série formelle à coefficients dans A est un élément de A/N
seriesformelles
pris dans n'importe quel anneau par exemple un anneau de polynômes `a (fini ou infini) on appelle famille de séries formelles une application s ↦→
p lectnotes
avec les conditions générales d'utilisation (http://www numdam org/ l'anneau Zp des entiers p-adiques est la somme d'une série V CM 1
BSMF
5 2 L'anneau différentiel des séries formelles et l'application support 90 5 3 Lespolynômestropicauxdifférentiels
REN S
sur M × N à valeurs dans un A-module M1 à travers des applications linéaires En d'autres termes : avec l'anneau des séries formelles K[[X]] (exercice)
algebre avancee
Le programme est formé du titre A de l'annexe augmenté des paragraphes a) Anneau Z des nombres entiers relatifs (ou rationnels) L'anneau Z est
Programme
144767
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Dominique FOATA et Guo-Niu HAN
PRINCIPES DE
COMBINATOIRE CLASSIQUE
Cours et exercices corrig´es
Universit´e Louis Pasteur, Strasbourg
D´epartement de math´ematique
2008
AVANT-PROPOS
Ces Notes de Cours ont ´et´e r´edig´ees `a la fin des ann´ees 1990, lorsque les deux auteurs assuraient le cours d"alg`ebre et combinatoire, qui faisait partie `a l"´epoque du cursus de la maˆıtrise de math´ematiques discr`etes. Le mot "Principes" aurait pu ˆetre remplac´e par "´El´ements," suivant l"exemple d"une collection c´el`ebre, pour mieux indiquer que ces Notes recouvrent une tr`es faible partie de ce que l"on pourrait enseigner au niveau de la maˆıtrise dans le domaine des math´ematiques tourn´ees vers les probl`emes de nature combinatoire. On ne trouvera donc que quatre chapitres, de longueur tr`es in´egale, de choix tr`es arbitraire, dont laliste apparaˆıt ci- dessous. Les exercices propos´es dans les trois premiers chapitres sont presque tous donn´es avec solutions. Pas de solutions, en revanche, pour les exercices du chapitre 4. On esp`ere cependant que les indications donn´ees sont suffisantes. Les auteurs ont par ailleurs r´edig´e une premi`ere versiondu m´emoire "The-series in Combinatorics; Permutation Statistics", qui utilise les ´el´ements des pr´esentes Notes et pensent que la version finale dˆument actualis´ee sera prochainement disponible. Chapitre 1. S´eries g´en´eratrices ordinaires et exponentielles
Chapitre 2. Les-s´eries g´en´eratrices
Chapitre 3. S´eries g´en´eratrices des suites de nombres classiques Chapitre 4. L"anneau des fonctions sym´etriques
D. Foata et G.-N Han Strasbourg, 8 octobre 2008
CHAPITRE PREMIER
S
´ERIES G´EN´ERATRICES ORDINAIRES ET
EXPONENTIELLES
Sommaire
1. L"alg`ebre des s´eries formelles
2. Familles de s´eries formelles
3. Substitution dans les s´eries formelles
4. D´eriv´ee et int´egrale d"une s´erie formelle
5. La r´eversion des s´eries
6. S´eries de Laurent formelles
7. La formule de r´eversion de Lagrange-B¨urmann
8. Les fonctions hyperg´eom´etriques
9. Polynˆomes g´en´erateurs
10. L"identit´e de Pfaff-Saalsch¨utz
11. Transformations de Laplace formelles
12. Les matrices de Seidel
13. L"exponentielle d"une s´erie formelle
14. Produits et compos´es partitionnels
15. Le compos´e partitionnel des permutations
16. Les polynˆomes Eul´eriens
17. Le compos´e partitionnel des endofonctions
18. Partitions d"entiers
19. Familles multipliables
20. Le triple produit de Jacobi
21. Une combinatoire pour la formule de r´eversion de Lagrange-B¨urmann
Avant de manipuler les s´eries g´en´eratrices, il importe de maˆıtriser l"alg`ebre des s´eries formelles. Le but de ce chapitre est de d´ecrire cette alg`ebre (on se limite aux s´eries d"une variable), qu"on enrichit par l"´etude des op´erations compl´ementaires que sont la substitution, le calcul de la d´eriv´ee ou de l"int´egrale, la r´eversion. cCes notes peuvent ˆetre reproduites pour des besoins d"enseignement, en aucun cas pour des fins commerciales. Envoyer remarques et corrections `a l"un des auteurs : foata@math.u-strasbg.frouguoniu@math.u-strasbg.fr. 1 CHAPITRE PREMIER : S´ERIES ORDINAIRES ET EXPONENTIELLES Muni de ce bagage, on peut alors entrer dans l"´etude des fonctions hy- perg´eom´etriques. On se limite ici `a une br`eve introduction en s"effor¸cant de d´emontrer certaines identit´es fondamentales comme celles de Chu-
Dominique FOATA et Guo-Niu HAN
PRINCIPES DE
COMBINATOIRE CLASSIQUE
Cours et exercices corrig´es
Universit´e Louis Pasteur, Strasbourg
D´epartement de math´ematique
2008
AVANT-PROPOS
Ces Notes de Cours ont ´et´e r´edig´ees `a la fin des ann´ees 1990, lorsque les deux auteurs assuraient le cours d"alg`ebre et combinatoire, qui faisait partie `a l"´epoque du cursus de la maˆıtrise de math´ematiques discr`etes. Le mot "Principes" aurait pu ˆetre remplac´e par "´El´ements," suivant l"exemple d"une collection c´el`ebre, pour mieux indiquer que ces Notes recouvrent une tr`es faible partie de ce que l"on pourrait enseigner au niveau de la maˆıtrise dans le domaine des math´ematiques tourn´ees vers les probl`emes de nature combinatoire. On ne trouvera donc que quatre chapitres, de longueur tr`es in´egale, de choix tr`es arbitraire, dont laliste apparaˆıt ci- dessous. Les exercices propos´es dans les trois premiers chapitres sont presque tous donn´es avec solutions. Pas de solutions, en revanche, pour les exercices du chapitre 4. On esp`ere cependant que les indications donn´ees sont suffisantes. Les auteurs ont par ailleurs r´edig´e une premi`ere versiondu m´emoire "The-series in Combinatorics; Permutation Statistics", qui utilise les ´el´ements des pr´esentes Notes et pensent que la version finale dˆument actualis´ee sera prochainement disponible. Chapitre 1. S´eries g´en´eratrices ordinaires et exponentielles
Chapitre 2. Les-s´eries g´en´eratrices
Chapitre 3. S´eries g´en´eratrices des suites de nombres classiques Chapitre 4. L"anneau des fonctions sym´etriques
D. Foata et G.-N Han Strasbourg, 8 octobre 2008
CHAPITRE PREMIER
S
´ERIES G´EN´ERATRICES ORDINAIRES ET
EXPONENTIELLES
Sommaire
1. L"alg`ebre des s´eries formelles
2. Familles de s´eries formelles
3. Substitution dans les s´eries formelles
4. D´eriv´ee et int´egrale d"une s´erie formelle
5. La r´eversion des s´eries
6. S´eries de Laurent formelles
7. La formule de r´eversion de Lagrange-B¨urmann
8. Les fonctions hyperg´eom´etriques
9. Polynˆomes g´en´erateurs
10. L"identit´e de Pfaff-Saalsch¨utz
11. Transformations de Laplace formelles
12. Les matrices de Seidel
13. L"exponentielle d"une s´erie formelle
14. Produits et compos´es partitionnels
15. Le compos´e partitionnel des permutations
16. Les polynˆomes Eul´eriens
17. Le compos´e partitionnel des endofonctions
18. Partitions d"entiers
19. Familles multipliables
20. Le triple produit de Jacobi
21. Une combinatoire pour la formule de r´eversion de Lagrange-B¨urmann
Avant de manipuler les s´eries g´en´eratrices, il importe de maˆıtriser l"alg`ebre des s´eries formelles. Le but de ce chapitre est de d´ecrire cette alg`ebre (on se limite aux s´eries d"une variable), qu"on enrichit par l"´etude des op´erations compl´ementaires que sont la substitution, le calcul de la d´eriv´ee ou de l"int´egrale, la r´eversion. cCes notes peuvent ˆetre reproduites pour des besoins d"enseignement, en aucun cas pour des fins commerciales. Envoyer remarques et corrections `a l"un des auteurs : foata@math.u-strasbg.frouguoniu@math.u-strasbg.fr. 1 CHAPITRE PREMIER : S´ERIES ORDINAIRES ET EXPONENTIELLES Muni de ce bagage, on peut alors entrer dans l"´etude des fonctions hy- perg´eom´etriques. On se limite ici `a une br`eve introduction en s"effor¸cant de d´emontrer certaines identit´es fondamentales comme celles de Chu-