1 Il se peut qu’une fonction possède une asymptote en un infini mais pas en l’autre 2 Il se peut que () lim x f x a ?+? x = existe et soit fini mais que lim ( )[ ] x f xax ?+? ? n’existe pas ou soit infinie; il n’y a alors pas d’asymptote Exemple Soit f la fonction numérique définie sur R?{?2} par 2 5
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4- Asymptotes obliques Soit f une fonction de courbe C dans le plan muni d'un repère Soit D la droite d'équation y = ax + b La droite D est une asymptote à la coube C en +? si lim x ? f x ? ax b =0 La droite D est une asymptote à la coube C en –? si lim x ?? f x ? ax b =0 Exemple :
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Soit f la fonction dé?nie par f(x)= 8 >< >: 4x2 8 x+4 si x < 2 x+6 si 2 3: a)Trouver les asymptotes verticales de la fonction f b) Trouver tous les points de discontinuité de la fonction f 2
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Dé?nition 8 : Soit f une fonction dé?nie sur un intervalle du type [?;+?[, s’il existe deux réels a et b tels que lim x?+? [f(x)?(ax +b)] = 0on dira que la droite D d’équation y = ax+b est asymptote oblique à Cf au voisinage de +? Remarque : • La méthode de détermination est H P • On a
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L'axe des ordonnées (droite déquation x O) est asymptote verticale la courbe représentative de la fonction inverse I Asymptotes horizontales 1) Limite réelle en ou exemples Soit f la fonction définie Sur IR - {1} par 3 El semble que f(x) prend des valeurs aussi
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5ième année – 3 ième partie : ANALYSE – Chapitre 6 : Les asymptotes p 3 Exemple 1 Déterminer les équations des asymptotes verticales éventuelles de la fonction 1 ( ) ? = x x f x Valeur qui annule le dénominateur : 1 dom f =R \{1} Signe de f (x): x - ? 0 1 + ? x - - 0 + + + + x ?1 - - - - 0 + +
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contenant a ( aussi petit soit-il ) , on peut trouver un nombre A tel que on ait f(x) I La fonction f a pour limite le nombre b quand x tend vers lorsque , pour tout intervalle ouvert I contenant a ( aussi petit soit-il ) , on peut trouver un nombre B tel que on ait f(x) I Limites de fonctions Asymptotes
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une fonction rationnelle Dans le cas ou la fonction n'a pas d'asymptote horizontale d'un c^ote ou d'un autre, elle peut avoir uneasymptote oblique (AO) C'est le cas lorsque le degre de N (x ) estegal au degre de D (x ) + 1 On trouve les asymptotes oblique en e ectuant la division euclidienne
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Exercice 5 : asymptotes parallèles aux axes d’un repère, équation d’asymptote oblique On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative d’une fonction Déterminer graphiquement , l’ensemble de définition de , puis une équation de chacune des asymptotes à Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés
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pour tout choix de r >0 , on peut trouver un nombre a tel que : si x>a alors f(x) -l
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