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College Algebra

Associative a+ (b+ c) = (a+ b) + c a(bc) = (ab)c Commutative a+ (b+ c) = (a+ b) + c a(bc) = (ab)c Identity a+ 0 = 0 + a= a a1 = 1 a= a Inverse a+ ( a) = ( a) + a= 0 aa 1 = a 1 a= 1 Distributive a(b+ c) = ab+ ac (a+ b)c= ac+ bc The operations of subtraction and division are then de ned by a b:= a+ ( b) a b:= a b:= ab 1 = a 1 b:

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Introduction to functions

Introduction to functions mc-TY-introfns-2009-1 A function is a rule which operates on one number to give another number However not every rule describes a valid function This unit explains how to see whether a given rule describes a valid function and introduces some of the mathematical terms associated with functions

Is C Fi a commutative algebra?
Therefore, C fI; S; S0g is a commutative C -algebra which is isomorphic to C( ) for a compact Hausfor space (by the Abstract Spectral The-orem). But S ^ and S0 ^ are nonnegative functions: for example, S( ^ ) = (S) [0; 1). Then S2 ^ = S02 ^ implies that S ^ = S0. ^ Therefore, S = S0. 2.2.1.
Is C0(X) a Banach algebra?
Therefore, C0(X) is a Banach algebra. Note that by de nition, the support of a function is always closed. Of course, we say that f has compact support if supp f is compact. We write Cc(X) for the collection of compactly supported continuous functions on X. It is not hard to see that Cc(X) is a dense subalgebra of C0(X).
What is a simple C -algebra?
A C -algebra is called simple if it has no nontrivial (closed) ideals. It is worth pointing out that a simple C -algebra can have nontrivial ideals that are not closed. For example, although our next result shows that the compacts are always simple, K(H) has lots of nonclosed proper ideals if dim H = 1 | the rank operators are an example.

Tmkkxk;

it follows that fTn(x)g is a Cauchy sequence in X. Since X is complete by assumption, there is an element, T (x), such that math.dartmouth.edu

C( B : ):

Furthermore, since two complex homomorphisms that agree on a must be equal on B, : (a) given by (h) := h(a) is a continuous bijection. Since and (a) are compact and Hausdor , is a homeomorphism. Then we get an isometric -isomorphism by math.dartmouth.edu

[ (A)h] := spanf (a)h : a 2 A g = V:

We say that is a cyclic representation if H is a cyclic subspace for . representation : A B(V) is equivalent to if there is a unitary U : H V so that math.dartmouth.edu

N = f a 2 A : f(b a) = 0 for all b 2 A g:

Therefore N is not only a vector subspace of A, but a left ideal as well. In particular, A=N is a vector space. We let : A A=N be the quotient map. We have chosen N so that math.dartmouth.edu

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