Arithmétique et récurrence (TS) 1ère Mathématiques

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Quelle est la formule de récurrence d'une suite arithmétique ?
Pour calculer la raison d'une suite arithmétique, nous pouvons utiliser la définition par récurrence d'une suite arithmétique, u n + 1 = u n + r .
Nous pouvons également exploiter le terme général d'une suite arithmétique, u n = u 0 + n r .
Comment calculer u1 u2 u3 ?
Pour calculer u1, on fait n = 0 dans (*) : u1 = 2u0 − 1 = 2 χ 3 − 1 = 5.
Pour calculer u2, on fait n = 1 dans (*) : u2 = 2u1 − 1 = 2 χ 5 − 1 = 9.
De même : u3 = 2u2 − 1 = 17.
On remarque que, pour calculer un terme de la suite, on doit calculer tous les termes d'indice inférieur.
Comment calculer la récurrence ?
la relation de récurrence : { x1 = 1, xn = 2xn-1 + 1, si n > 1 ce qui donne bien xn = 2n - 1.
En effet, cette formule est vraie pour n = 1 et on suppose que xn-1 = 2n-1 - 1, alors xn = 2xn-1 + 1 = 2(2n-1 - 1)+1=2 × 2n-1 - 2+1=2n - 1.
Une relation de récurrence est une équation qui exprime chaque élément de la suite comme une fonction des éléments précédents.

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Comment calculer la récurrence?

Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, 0 < u n. On admet que u n < 1 pour tout entier naturel n. Montrer que la suite (u n) est croissante. Soit (v n) la suite définie, pour tout entier naturel n, par v n = u n 1 − u n.

2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités. Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente. Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.

Comme la différence est constante, (indépendante de ), on peut conclure que la suite est arithmétique de raison –0,5 et de premier terme . 2. Formule explicite

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente. Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes. l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

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