congruence modulo n exercices

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3 Math 235 Fall 2021 Worksheet 3: Modular arithmetic

chain congruences (modulo the same n) together For example we will write a b c dmodn to mean that a bmodn and b cmodn and c dmodn Such a chain of congruences then implies that any of the four numbers abcd is congruent to any other modulo n (since congruence modulo n is an equivalence relation) Equality

PDF	§13 14: Congruences and Integers Modulo n modulo n if they have the same remainder when divided by n We write a b (mod n) The integer n is called the modulus Write a = nq + r where 0 r 0 Then a b (mod n) if and only if nj(a b):

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SOLVING THE CONGRUENCE P x mod N

division modulo p then we prove that if P(x) has degree n and P(a) 0 mod p then modulo p P(x) = (x a)Q(x) where Q(x) is a polynomial of degree n 1 less the degree of P(x); we can assume by induction that the congruence Q(x) 0 mod p has at most n 1 solutions and the congruence P(x) 0 mod p has the same solutions and also a )

PDF	3 Congruence 3 Congruence Congruences are an important and useful tool for the study of divisibility As we shall see they are also critical in the art of cryptography De nition 3 1If a and b are integers and n>0wewrite a bmodn to mean nj(b −a) We read this as \\a is congruent to b modulo (or mod) n

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Congruence mod n and Modular Arithmetic

Congruence mod n and Modular Arithmetic 1 Given integers a and b and n 2N we say a b(modn) if 2 Review of the division algorithm: (a) The Division Algorithm: Given integers a and b with b > 0 there exist unique integers q and r for which a = and 0 r < b (b) What do q and r stand for in the division algorithm? q = r =

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Congruences

Exercise 2: Verify parts (d) and (e) of the theorem in the following way Write down two separate congruences with the same modulus that we know are true such as 9 o 2 ( mod 7 ) and 17 o 3 ( mod 7 ) Now add and multiply these congruences to get two new congruences Check if the new congruences are true

Which number has a solution congruent to 1 modulo 7?
8. An example. = 7. (6) = 242. Of all this numbers, only 1 and 5. Furthermore, 2 mod 7. 2 has any solution congruent to 1 modulo 7. It is all very di erent with 5. Since ( required a simple computer program. Certainly, using more sophisticated much farther.
How do you write a rmodn if a number is congruent?
Thus, we can write 15−2mod17by subtracting 17 from 15:−2=15+(−1) 17. Similarly, 5212 mod 20. Just subtract 40 (2 times 20) from 52. A simple consequence is this: Any number is congruent modnto its remainder when divided byn.Forifa=nq+r, the above result shows thata rmodn. Thus for example, 23 2 mod 7 and 1033 mod 10.
Why are congruences important in cryptography?
Congruences are an important and useful tool for the study of divisibility. As we shall see, they are also critical in the art of cryptography. Denition 3.1If a and b are integers and n>0,wewrite a bmodn to mean nj(b −a). We read this as \\a is congruent to b modulo (or mod) n. For example, 298 mod 7, and 600 mod 15.
What is a residue if a is congruent modulo n 0 b n 1?
In connection with this, we will use the word \\residue": if a is congruent modulo n to b; 0 b n 1, then we will say that b is the residue of a modulo n. (In particular, each of the numbers 0; 1; : : : ; n 1 is the residue of its own.) We can add, subtract and multiply residues.

(Abstract Algebra 1) Congruence Modulo n

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