fonction continue sur un compact atteint ses bornes
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Analyse Mathématique pour l’Ingénieur
Une fonction numérique sur un compact atteint ses bornes Soit K une partie compacte non vide d’un espace métrique et f : K ! R une application continue Il existe x 0 2K et y 0 2K de sorte que f(x 0) f(x) f(y 0) pour tout x 2K Une fonction continue sur un compact est uniformément continue Soit (K;d) un espace métrique compact (non vide |
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Chapitre 3 k
Théorème 3 7 Soit (X;d ) un espace métrique compact et f : X ! R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f) Par |
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Compacité connexité par arcs
Corollaire : théorème des bornes atteintes Toute fonction continue sur un compact de E à valeur réelles est bornée et atteint ses bornes Remarque Trèèèès utile! Et avec un petit goût de déjà-vu Démonstration f:K!R continue et K compacte alors f (K) est une partie compacte de R donc fermée et bornée |
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COURS 12 : Fonctions continues (suite)
COURS 12 : Fonctions continues (suite) Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ab] alors f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il suffit de montrer que la fonction (composée) f est majorée |
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Play:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px;\ class=\tit bremypersomathcnrsfrContinuit e et compacit e
On dit que f estcontinue (sur X)si f est continue en tout point de X Proposition On a equivalence entre : (i) L’application f est continue sur X (ii) L’image r eciproque par f d’un ouvert de (Y;d0) est un ouvert de (X;d) (iii) L’image r eciproque par f d’un ferm e de (Y;d0) est un ferm e de (X;d) |
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Pour montrer que f est bornée, il suffit de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7→ x| | est continue sur R, si f est continue sur [a, b] alors f| aussi. Supposons que |f| ne soit pas majorée. Alors il existe une suite (xn)n d’éléments de [a, b] tels que |f(xn)| tend vers +∞.
Comment calculer la borne d'une fonction ?
Soit (X;d ) un espace métrique compact, et f : X ! R une fonction continue. Alors f est bornée et atteint ses bornes. Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f).
Comment savoir si un ensemble est borne ?
Par de nition de k k1, un ensemble X est borne s'il est inclus dans un pave [ a; a]N, qui est compact. Si de plus X est ferme, c'est un ferme dans un compact, donc il est compact. Une fonction continue a valeurs reelles, de nie sur un espace metrique compact, est bornee et atteint ses bornes. Preuve.
Comment montrer que (n) est fermée et bornée ?
On est en dimension finie, il suffit de montrer que (n) est fermée et bornée pour n’importe quelle norme. Or (n) est fermée comme image réciproque du fermé {In} par l’application continue M 7! M|M (bilinéarité du produit matriciel et linéarité de la transposition) et bornée car, avec la norme euclidienne kMk Æ tr¡M|M¢, on a (n) 1⁄2 B(0,n).
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Cours 2 : continuité et compacité
Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact |
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COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a b] alors f est bornée sur [a |
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Compacité
Soit (X d) un espace métrique compact |
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THEOREMES DANALYSE
12 avr. 2005 Exercice 4 Construire une fonction non continue f : [0 ... f atteint ses bornes : il existe c1 |
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203. Utilisation de la notion de compacité
29 mai 2010 L'image d'un compact par une fonction continue est compacte. Notamment toute fonction d'un compact dans R est bornée et atteint ses bornes. |
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Les fonctions de plusieurs variables (suite)
Soit f : X ? R (avec X compact non vide) continue. Alors : (i) f est bornée sur X. (ii) f atteint ses bornes inférieure et supérieure. |
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3. Les espaces de Banach classiques 3.1. Espaces de fonctions
continue sur K est bornée (et atteint ses bornes) ce qui permet de définir la L'espace vectoriel des fonctions continues et `a support compact sur. |
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MAT311 Cours 2 : Continuité et compacité 1
3 mai 2017 Une fonction continue `a valeurs réelles définie sur un espace métrique compact |
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Fonctions continues et uniformement continues
Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. 10. 3.2. Théorème du point fixe. 11. 3.3. Sommes de Riemann. |
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Chapitre 3 - Espaces métriques compacts
Rappelons que toute fonction numérique continue sur un intervalle fermé borné atteint ses bornes inférieure et supérieure. Cette propriété implique que f([a b]) |
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Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1
La compacité est importante pour nous en particulier parce que les fonctions continues sur les espaces compacts ont des propriétés très fortes Théorème 3 7 Soit (X;d ) un espace métrique compact et f : X ! R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve: |
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COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
Corollaire 3 4 2 Toute fonction continue sur un espace m´etrique compact `a valeurs dans R est born´ee et atteint ses bornes inf´erieure et sup´erieure Exemple 3 4 3 (Voir TD) Soient A B deux partie compactes de ( Ed ) |
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COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr
COURS 12 : Fonctions continues (suite) Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ab] alors f est bornée sur [ab] et atteint ses bornes sur [ab] Démonstration Pour montrer que f est bornée il su?t de montrer que la fonction (composée) f est majorée |
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Compact - licence-mathuniv-lyon1fr
1(e) A est compact f est continue et une fonction continue sur un compact atteint ses bornes 1(f) Un min ou max est atteint soit dans l’int´erieur (en un point critique) ou sur la fronti`ere Ici la premi`ere possibilit´e est exclue pour le min 2(a) On a y 2+y ?1 ? 0d’o`uy ? (1+ ? 5)/2 < 2 Ensuite z est major´e par 3 et |
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Système itéré de fonctions
Théorème 2 1 Une fonction continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes Autrement dit : si CˆR2un ensemble compact et f: C!R une fonction continue alors il d’une part la fonction est bornée et d’autre part le maximum et le minimum sont atteint en des points de C |
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Searches related to fonction continue sur un compact atteint ses bornes PDF
Applications continues sur une partie compacte Image d’une partie compacte par une application continue Cas particulier des applications à valeurs réelles : théorème des bornes atteintes Théorème de Heine Parties connexes par arcs d’un espace vectoriel normé Chemin continu joignant deux points |
Comment montrer qu'une fonction est bornée ?
Théorème 0.1. Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] alors f est bornée sur [a,b] et atteint ses bornes sur [a,b]. Démonstration Pour montrer que f est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée) |f| est majorée. Comme la fonction x 7? |x| est continue sur R, si f est continue sur [a,b] alors |f| aussi.
Comment montrer que f est bornée et atteint ses bornes ?
Alors f est bornée et atteint ses bornes. Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f). Par dé nition d'une borne supérieure, il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que f(xn) converge vers M .
Comment montrer qu'un produit est compact ?
Corollaire 3.4. Pour tout n 2 N , et tout a1;:::;an;b1;:::;bn, l'ensemble Q [ai;bi]est un compact de Rnmuni de la distance induite par kk1. Preuve: Chacun des espaces [ai;bi] est compact, et par récurrence on montre facilement à partir de la pro- position précédente qu'un produit ni d'espaces métriques compacts est compact.
Comment montrer qu'un ensemble est compact ?
Preuve: Si A Rnest tel que (A;d ) soit compact, alors on sait que (A;d ) doit être fermé dans Rn, et borné d'après la proposition précédente. Réciproquement, si A est fermé borné dans Rn, alors il existe M tel que A soit contenu dans [ M;M ]n; on a vu que cet ensemble est compact, et A y est fermé, donc (A;d ) est compact.
| Chapitre 3 k - Claude Bernard University Lyon 1 |
| COURS 12 : Fonctions continues (suite) - univ-rennes1fr |
| Chapitre 2 Espace des fonctions continues sur un compact |
| Construction de fonctions continues sur un compact - IMJ-PRG |
| Continuit e et compacit e - CNRS |
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Comment calculer la borne supérieure d'une fonction?
- Soit (X;d ) un espace métrique compact, et f : X R une fonction continue.
. Alors f est bornée et atteint ses bornes.
. Preuve: Montrons que f atteint sa borne supérieure M = sup( ff(x): x 2 X g) (l'argument pour la borne inférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à f).
Comment montrer Quef est bornée ?
- Pour montrer quef est bornée, il su?t de montrer que la fonction (composée)festmajorée.
. Comme la fonctionx7?xestcontinue sur R, sifest continue sur[a, b]alors
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Compacité - Licence de mathématiques Lyon 1
Soit (X, d) un espace métrique compact, et f : X → R une fonction continue Alors f est bornée et atteint ses bornes Preuve: Montrons que f atteint sa borne |
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COURS 12 : Fonctions continues (suite)
Théorème 0 1 Si f est une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a, b] alors f est bornée sur [a, b] et atteint ses bornes sur [a, b] Démonstration |
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Parties compactes de R et fonctions continues - Epsilon 2000
PARTIES COMPACTES DE R ET FONCTIONS CONTINUES 1 Parties a b qui est une partie compacte de , f est bornée et atteint ses bornes sur [ ; ] a b donc |
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THEOREMES DANALYSE
12 avr 2005 · Exercice 4 Construire une fonction non continue f : [0, 1] → R telle que, f atteint ses bornes : il existe c1, c2 ∈ I tel que f(c1) = min{f(x) x ∈ I}, |
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Topologie et Fonctions de plusieurs variables
25 avr 2015 · Fonctions continues 17 Fonctions continues sur les compacts les boules ouvertes dans R, sont exactement les intervalles ouverts bornés et les boules Toute fonction continue f : A ↦→ R est bornée et atteint ses deux |
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Petit traité pas très compact sur les compacts - Jean-François Burnol
Toute fonction sur X à valeurs réelles qui est continue est bornée et atteint ses bornes Preuve 1 : on supposera X non vide Si f : X → R n'est pas bornée alors les |
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Fonctions continues sur R n , compacité et - webusersimj-prgfr
11 mai 2016 · FONCTIONS CONTINUES SUR Rn, COMPACITÉ ET Soit K un compact de Rn et f : K → Rp une application continue (Q) (i) f(K) est un compact de Rp (ii) En particulier, si p = 1 alors f est bornée et atteint ses bornes, i e il |
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Continuité
2 3 (fonction continue sur un compact) Soit a, b ∈ R, a |
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Espaces métriques compacts
Corollaire 3 4 2 Toute fonction continue sur un espace métrique compact `a valeurs dans R est bornée et atteint ses bornes inférieure et supérieure Exemple 3 4 3 |
![EM#24] Théorème des bornes](https://i.ytimg.com/vi/LMSLj3pgYeI/maxresdefault.jpg "file_id\u003d16877")
