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Comment montrer que f est convexe ?
On démontre qu'une fonction est convexe sur un intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle, autrement dit si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.
Comment montrer qu'une fonction est convexe ?
Plus généralement, si A est une partie convexe d'un espace vectoriel normé E, une fonction f:A→R f : A → R est convexe lorsque, pour tous x et y de A , pour tout t de [0,1] : f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y).
Quelles sont les fonctions convexes ?
En mathématiques, une fonction réelle d'une variable réelle est dite convexe :
si quels que soient deux points. et. ou si l'épigraphe de la fonction (l'ensemble des points qui sont au-dessus de son graphe) est un ensemble convexe ;ou si vu d'en dessous, le graphe de la fonction est en bosse.
Une fonction f est convexe si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est au-dessus de la courbe de f.
Si, pour tout couple de points A et B de la courbe de f, la sécante (AB) est en dessous de la courbe de f, alors on dit que f est concave.

La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit f ''(x) ≥ 0 pour tout x de I. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit f ''(x) ≤ 0 pour tout x de I. Soit la fonction f définie sur R par f (x) = 1 3 x3 −9x2 + 4.

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Comment étudier la convexité ?

L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f^ {\prime} f ′.
. Si f^ {\prime} f ′ est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f^ {\prime} f ′.
. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f f et se note f^ {\prime\prime} f ′′ .

Comment calculer la convexité d’une fonction ?

Etudier la convexité de la fonction f.
. Pour tout x de , on a f'(x)=x2−18x.
. Pour tout x de , on a f''(x)=2x−18 qui s’annule pour x=9.
. Pour tout x≤9, f''(x)≤0 Pour tout x≥9, f''(x)≥0 f ' est donc strictement décroissante sur ]−∞;9] et donc f est concave sur ]−∞;9].

Comment savoir si une fonction est convexe ou concave ?

Propriété : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I.
. La fonction f est convexe sur I si sa dérivée f ' est croissante sur I, soit. f''(x)≥0 pour tout x de I.
. La fonction f est concave sur I si sa dérivée f ' est décroissante sur I, soit. f''(x)≤0 pour tout x de I.

Comment calculer la convexité d'une fonction ?

En précisant au moyen des valeurs de la fonction ce que sont les points A et B ci-dessus, on obtient une définition équivalente souvent donnée de la convexité d'une fonction : une fonction définie sur un intervalle réel I est convexe lorsque, pour tous x et y de I et tout t dans [0 ;

Comment étudier la convexité ?

L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f^ {\\prime} f ′. Si f^ {\\prime} f ′ est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f^ {\\prime} f ′. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f f et se note f^ {\\prime\\prime} f ′′ .

Quel est le rôle de la convexité ?

Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité. Elles jouent aussi un rôle singulier en optimisation, en supprimant la distinction entre minima locaux et globaux (tout minimum local d'une fonction convexe est un minimum global).

Qu'est-ce que la fonction convexe ?

Fonction convexe. Les fonctions convexes sont, avec les ensembles convexes, les objets constitutifs de l' analyse convexe, une discipline « intermédiaire » entre l' algèbre linéaire et l'analyse non linéaire. Elles permettent de démontrer un grand nombre d'inégalités remarquables, dites inégalités de convexité.

L'étude de la convexité se ramène donc à l'étude des variations de f^ {prime} f ′. Si f^ {prime} f ′ est dérivable, on donc est amené a étudier le signe la dérivée de f^ {prime} f ′. Cette dérivée s'appelle la dérivée seconde de f f et se note f^ {primeprime} f ′′.

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