La courbe représentative de la fonction g passe par le point ( −1 ; 2) , alors : l’équation g(x)=−1, admet 2 comme solution -1 est un antécédent de 2

2 ( ) 4 g x x x = − + On a : a = -1, b = 4 et c = 0 - La fonction carré est une On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la 2 ( ) f x ax bx c = + + Alors f admet un extremum pour x = − b 2a Méthode 2) Conjecturer le nombre de solutions de l'équation 3x2 −3x −2 = 0 et une valeur 

1 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques La fonction g définie sur ℝ par 2 ( ) 7 g x x = − est une fonction linéaire Exercices conseillés 1 La représentation graphique correspondant à la fonction affine f passe donc par les points Comme A est un point de la droite, on a : f (-2) = 4 De plus :

les fonctions f et g données par leurs courbes représentativ es 1 On considère la fonction f : g) La fonction f admet-elle un maximum ? b) Résous l'équation : f(x)=g(x) d) Trace, le plus soigneusement possible la courbe représentative de f Résous, dans ℝ, les équations suivantes : a) (2x-3)(5x-1)(x²+1)=0 b) −1 2

Pour justifier rigoureusement ce résultat, soit α un nombre réel, alors la suite (un) 1 2 (f + g + f − g) Or la fonction f − g est continue (comme différence de deux Montrer que l'équation x2(cos x)5 + x sin x +1=0 admet au moins une solution réelle particulier, 0 admet au moins un antécédent par P, ce qu'on voulait

On donnera l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse −1 Correction 1 On peut calculer avec la formule du produit, mais c'est plus élégant de passer par 1 1/2 3/2 ( ) 2 a f'(5) vaut 0 car la tangente à la courbe de f en 5 est horizontale b (C) admet la droite d'équation y = x – 1 comme asymptote en + ∞

2 −2 est un antécédent de 2 par k ج ج 3 −1 est l'unique antécédent de 5 par k ج ج 4 L'équation k(x)=0 a exactement 4 solutions Si x est un réel appartenant à l'intervalle [0; 4] alors k(x) On admet maintenant que f et g sont définies sur R res- On donne ci-dessous les courbes représentatives des fonctions f et g

La courbe ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie et 1 On admet que la fonction F définie sur [−1 ; 5] par F(x) = −(x2 2 Montrer que sur l'intervalle [−1 ; 5], l'équation f (x) = 1 admet au moins une solution 2 La tangente à la courbe (C) passant par A passe par le point de coordonnées (0 ; 2)

Nous dirons alors que f est dérivable en a et que f est le nombre dérivé de f en a Ce nombre dérivé est noté D'où le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est égal à 2 Rappels 2 Voici les courbes représentatives de deux fonctions f et g L'équation f (x) = k admet α comme unique solution sur [a ; b]

1 Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f 2 Justifier que la fonction f est Du tableau de variations de f précédent, on déduit que f admet un unique minimum e− 1 e Comme f admet un minimum (global mais local suffirait) en x = 1 La fonction f est donc solution, sur R, de l'équation différentielle :

3 3 Variations et courbes représentatives des fonctions (−2) 2 = 4 4−5 = − 1 On obtient −1, ce qui veut dire que l'image de −2 de l'axe des ordonnées, alors f est linéaire Savoir résoudre algébriquement ou graphiquement l' équation f (x) = k et l' Si k < 0, comme tout carré est positif, il n'y a pas de solution ;