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Comment prouver que Q est dénombrable ?
Q est dénombrable.
Tout rationnel s'écrit de façon unique comme fraction réduite x = p/q o`u q ≥ 1 et p ∧ q = 1.
L'application f : Q ↦→ Z × N, f(x) = (p, q) est injective, c'est une bijection sur son image, un sous-ensemble de Z × N.
Comme Z × N est dénombrable (exercice 6), Q est dénombrable._{14 mai 2005}
Comment démontrer que l'ensemble Z est dénombrable ?
L'ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable.
Pour cela, on considère f:Z→N f : Z → N telle que f(n)=2n f ( n ) = 2 n si n≥0 n ≥ 0 et f(n)=−(2n+1) f ( n ) = − ( 2 n + 1 ) si n<0 et on vérifie que f est une bijection de Z sur N.
Pourquoi Z est dénombrable ?
En effet Z, ensemble des entiers relatifs, est dénombrable ainsi que N^*, ensemble des entiers strictement positifs, et donc leur produit cartésien Z × N^*.
Tout rationnel s'écrit d'au moins une manière sous la forme d'une fraction p/q où p ∈ Z et q ∈ N^*.
Un ensemble est dit infini au sens de Dedekind s'il est équipotent à une de ses parties propres.
Un ensemble est infini au sens de Dedekind si et seulement s'il contient un ensemble dénombrable.
Dans la théorie Z, tout ensemble infini au sens de Dedekind est infini (au sens usuel).

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