montrer que n(n+1)(n+2) est multiple de 3

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´equivalente“si p n’est pas multiple de 3 alors p2 n’est pas multiple de 3” Si p n’est pas multiple de 3 alors il est ´egal a 3˜p+1 ou 3˜p+2 pour un naturel ˜p En prenant le carr´e p2 =(3˜p+1)2 =9˜p2 +6˜p+1 ou p2 =(3˜p+2)2 =9˜p2 +12˜p+2 on trouve que p2 n’est pas un multiple de 3 5 a ]4+1[b ]13/7[7 a ]13[b

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Exercices corrigés darithmétique dans N Partie II

D’où (n2 + 1 – n )(n2 + 1 + n ) = n4 + n2 + 1 2 – Montrer que 10101 est divisible par 111 On a 10101 = 111 × 91 D’où 10101 est divisible par 111 3 – Montrer que 108 + 104 + 1 est divisible Par 111 On a 108 + 104 + 1 = (102)4 + (102)2 + 1 Or (n2 + 1 – n )(n2 + 1 + n ) = n4 + n2 + 1 On prend n = 102

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Int´egrationetprobabilit ´es ENS Paris 2012-2013

Exercice 1 (Lemme de Slutsky) Soient (Xn)n (Yn)n deux suites de variables al ́eatoires r ́eelles et 1 X;Y deux variables al ́eatoires r ́eelles d ́efinies sur ( ;A;P) telles que Xn ! X en loi et Yn ! Y en loi On suppose que les variables Xn et Yn sont ind ́ependantes pour tout n et que les variables et X sont ind ́ependantes Montrer que (X

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TD : Exercices de logique

3 Soit a un réel Si a2 n'est pas un multiple entier de 16 alors a/2 n'est pas un entier pair Exercice 21 Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété P suivante pour n 2 n∈ℕ : P: Si l'entier ( n2 − 1) n'est pas divisible par 8 alors l'entier n est pair 1

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TD : Numération – Arithmétique

a l'un au moins des nombres b et c est multiple de 3 b l'un au moins des 3 nombres est multiple de 5 c l'un au moins des nombres b et c est multiple de 2 et 4 Exercice 23 Congruence Montrer que pour tout entier n: d 43n - 4 n est multiple de 5 e 32n - 2n est multiple de 7 f 24n 2 + 24n 1 - 1 est multiple de 5 g n2 n4−1 est

Comment écrire les 20 premiers entiers naturels ?
Ecrire les 20 premiers entiers naturels. 1. Un nombre est écrit 5 1111 en base 5. Quelle est la valeur de chacun des 1 utilisés? Quel est ce nombre en base 10? 2. Quel nombre précède 1200 5 et succède à 4124 . 5 3. Déterminer l'écriture en base 5 de 442. 4. Effectuer les calculs suivants sans utiliser la base 10.
Comment savoir si un nombre est multiple de 10 ?
a. Si un nombre entier n'est pas multiple de 10 alors son chiffre des unités n'est pas 0 b. Si un nombre entier n'est pas terminé par 0 alors il n'est pas multiple de 10. c. Si un nombre entier est terminé par 0 alors il est multiple de 10. d. Si un nombre entier est terminé par 0 alors il n'est pas multiple de 10.
Comment démontrer l'équivalence d'une implication ?
1. Définir la contraposé d'une implication A ⇒ B, A et B représentant des assertions. Démontrer l'équivalence à l'aide d'un tableau de vérité. 2. Ecrire la contraposée de la proposition P. 3. Démontrer qu'un entier impair n s'ecrit sous la forme n = 4k + r avec k ∈ N et r ∈ {1, 3}. 4. Prouver alors la contraposée.

1 – Convergences en loi

Exercice 1. (Lemme de Slutsky) Soient (Xn)n , (Yn)n deux suites de variables al ́eatoires r ́eelles, et 1 X;Y deux variables al ́eatoires r ́eelles d ́efinies sur ( ;A;P), telles que Xn X en loi et Yn Y en loi. . On suppose que les variables Xn et Yn sont ind ́ependantes pour tout n et que les variables et X sont ind ́ependantes. Montrer que (X

Corrig ́e :

. D’apr`es le th ́eor`eme de L ́evy, il su t de montrer que igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr

Exercice 4.

. Montrer qu’une suite de variables al ́eatoires r ́eelles Xn converge en probabilit ́e vers une variable al ́eatoire X si et seulement si de toute sous-suite de cette suite on peut extraire une sous-sous-suite qui converge ps vers X. . Montrer que si une suite de variables al ́eatoires r ́eelles Xn converge en probabilit ́e vers une variable al ́e

Corrig ́e :

. L’implication e geante p.s. vers claire, car d’apr`es un r ́esultat du cours on peut extraire une sous-suite conver- pour toute suite de variables al ́eatoires convergeant en probabilit ́e vers X. Pour la r ́eciproque, raisonnons par l’absurde en supposant qu’il exi e > et une extra 0 rice telle que P(jX (n) Xj < ) > pour tout n . Par hypoth`ese,

Exercice 5.

Soit (Xn)n une suite de variables al ́eatoires r ́eelles et X une v.a. r ́eelles d ́efinies sur ( igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr

;A;P).

pose que Xn X en probabilit ́e sous P. Montrer que si Q On sup- une mesure de probabilit ́e sur ( absolument continue par rapport `a P, alors Xn X en probabilit ́e sous Q. ;A) igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr

Corrig ́e :

La fao ̧n la plus rapide de faire cette exercice e d’utiliser ce qu’on connait d ́ej`a : d’apr`es Radon-Nikodym on peut trouver une fon ion f mesurable positive qui v ́erifie Z igor-kortchemski.perso.math.cnrs.fr

3 – A ` faire pendant les vacances

Manger beaucoup de magret de canard. . Pour pr ́eparer l’examen, r ́eviser le cours et ce qui a ́et ́e fait en TD. Chercher des exercices exa- mens des ann ́ees pr ́ec ́edents (les ́enonc ́es sont disponibles sur le site d’enseignement du DMA – http://www.math.ens.fr/enseignement – partie Archives p ́edagogiques, puis Annales d’exa-mens). – Compl

PDF	Exercices 17 Arithmétique Corrigé Montrer que la somme de trois entiers naturels consécutifs est un multiple de 3. Trois entiers naturels consécutifs s'écrivent : n n + 1 et n + 2 avec n ∈ N.

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PDF	Exercices de mathématiques - Exo7 Exercice 16 ***. 2. Page 3. Montrer que n = 448...89 (p chiffres 4 et p?1 chiffres 8 et donc 2p chiffres) (en base 10) est un carré parfait. Correction ?.

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Exercices corrigés d'arithmétique dans N Partie II - AlloSchool

Tronc commun science biof Exercices corrigés d'arithmétique dans N 3 – 2Soient m et n deux entiers naturels impairs montrer que 8 divise m2+ n + 6 m et n deux entiers naturels impairs m22+ n 2+ 6 = m2+ n 2 + 2 + 6 = m 1 + n2 1 + 8 m et n sont impairs donc m2 1 et n2 1 sont des multiples de 8

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Suites - TD maths avec corrigé détaillé univ Lille 1

1 Montrer que (X?1)3 divise nX n+2 ?(n+ 2)X +1 + (n+ 2)X?n; 2 Donner la multiplicité de 1 comme racine de nXn+1 ?(n+ 1)Xn+ 1 3 Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn(X+ 1)2 par (X+ 1)(X?2) 4 Déterminer pour quelles aleursv de nle polynôme (X?1)n?Xn+2X?1 est divisible par 2X3?3X2+X

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TD : Numération – Arithmétique - univ-angersfr

Montrer que A est multiple de 3 c Trouver A sachant qu'il est multiple de 9 Exercice 9 Expliciter le système que nous utilisons pour compter les jours heures minutes secondes sous forme d'une formule Même question pour le système de mesure des angles : degré minute d'arc seconde d'arc Arithmétique Exercice 10 Crible d

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TD : Exercices de logique - univ-angersfr

Exercice 21 Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété P suivante pour n 2 n?? : P: Si l'entier ( n2 ? 1) n'est pas divisible par 8 alors l'entier n est pair 1 Définir la contraposé d'une implication A? B A et B représentant des assertions Démontrer l'équivalence à l'aide d'un tableau de

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Feuille d'exercices o14 : Suites numériques

1 Montrer que l?R + ou l= +? 2 Montrer que si l1 alors (u n) tend vers +? 4 Montrer que si l= 1 on ne peut pas conclure ni sur la convergence de (u n) ni sur sa limite éventuelle Exercice 8[Critère de Cauchy] Soit (u n) une suite de réels strictement positifs On suppose que n ? u

Comment montrer que la suite est convergente ?

Montrer par un exemple que la suite (un)n??n??st pas n??cessairement croissante ni m??me croissante ?? partir d??n certain rang. Montrer que si la suite (un)n??est major??e, alors elle est convergente. Montrer que si la (un)n??n??st pas major??e, alors elle tend vers +?? ??Exercice3. ??udier la convergence des suites suivantes :

Qu'est-ce que la suite des nombres a1 a2 ?

3. La suite des nombres a1; a2; …; an est formée d'entiers positifs appelés les quotients partiels associés à la fraction continue. Vérifier sur les exemples et expliquer pourquoi le dernier quotient partiel an (obtenu par l'algorithme d'Euclide) est toujours supérieur ou égal à 2.

Comment montrer que deux suites r??elles convergent vers 0 ?

??Exercice3. Soient (un)n??et (vn)n??deux suites r??elles. Montrer que, si (u 2 n+v 2 n)n??converge vers 0, alorsuetvconvergent vers 0. Montrer que, si (u 2 n+unvn+v 2 n)n??converge vers 0, alorsuetvconvergent et donner leur limite. ??Exercice3.

Comment calculer les équivalences d'un polynôme ?

kXk, on a les équivalences : Ppair ??k?N, a 2k+1= 0 ??k?N, P(2k+1)(0) = 0. 2.Donner une équivalence analogue pour les polynômes impairs. 3.Montrer que Pest pair (resp. impair) si, et seulement si : ?k?N,P(k) = P(?k). La même condition est-elle alablev pour une fonction quelconque?

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Comment calculer un multiple de 3 ?

Comme b est un multiple de 3, il existe un entier k1 tel que b = 3k1
.Comme c est un multiple de 3, il existe un entier k2 tel que c = 3k2
.Alors : b + c = 3k1 +3k2 = 3(k1 + k2) = 3k, où k = k1 + k2. = k1 + k2 est un entier car somme de deux entiers, donc b + c = 3k avec k entier. + c est donc un multiple de 3.

Comment montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair ?

Montrer que le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.
. Soit deux entiers consécutifs n et n+1. - Si n est pair, alors il s’écrit sous la forme n = 2k, avec k entier.
. Alors le produit des deux entiers consécutifs s’écrit : n(n+1) = 2k(2k+1) = 2k 1, avec k 1 = k(2k+1) entier.
. Donc n(n+1) est pair.

Quelle est la différence entre un multiple et un diviseur ?

Exemples : -2 ? ? 5 ? ? 0,33 ? ? II.
. Multiples et diviseurs Définition : Soit a et b deux entiers.
. On dit que a est un multiple de b s’il existe un entier k tel que a = k b.
. On dit alors que b est un diviseur de a.

Quels sont les nombres entiers ?

I.
. Nombres entiers 1.
. Nombres entiers naturels Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif.
. L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ?. ?={0 ;1 ;2 ;3 ;4 ;…}.
. Exemples : 4 ? ? -2 ? ? 2.
. Nombres entiers relatifs Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif.

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