application linéaire exercices corrigés
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Applications linéaires
Montrer que f est linéaire 2 Déterminer le noyau et l'image de f 3 Que donne le théorème du rang ? Indication |
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Feuille 3 Applications linéaires
Correction exercice 4 1 Première méthode (0ℝ3) = 0ℝ3 Donc 0ℝ3 car est linéaire Soient |
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On consid`ere lapplication linéaire : f : R 4 → R2 (x1x2x3
Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 – On consid`ere l'application linéaire : f : R4 → R2 (x1x2x3x4) ↦→ (x1 + x2 + x3 + x4x1 + 2x2 |
Comment résoudre une application linéaire ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).Comment calculer le coefficient de l'application linéaire ?
la fonction linéaire g de coefficient se note g : x → x ou g(x) = x.
Remarques : pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on a : f(0) = a × 0 = 0. .
1) Déterminer l'image de –5 et 0 par la fonction f : x → 4x. * On a f(–5) = 4 × (–5) = –20 .Comment calculer le KERF et IMF ?
De plus d'apr`es la formule du rang dim kerf + rg f = n, mais dim kerf = dim Imf = rg f, ainsi 2 rg f = n. (ii) ⇒ (i) Si f2 = 0 alors Imf ⊂ kerf car pour y ∈ Imf il existe x tel que y = f(x) et f(y) = f2(x) = 0.
De plus si 2rg f = n alors par la formule Du rang dimkerf = rg f c'est-`a-dire dim kerf = dim Imf.- 1.
La base canonique de R4[X] est (1, X, X2,X3,X4), et dimR4[X] = 5.
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Quelle est la dimension de l’application linéaire?
- Nous verrons bientôt que les isomorphismes préservent la dimension.
. L’application linéaire (a,b,c) ? ??a+bX+cX2est par exemple un isomorphisme de R3dans R 2[X].
Comment savoir si une application est linéaire?
- LorsqueF=K, on dit plutôt quefest uneforme linéaire de E.
. Toute application linéairef?L(E,F)est un morphisme de groupes additifs, donc :f(0E)=0F.
. Ensuite, siAest un sous-espace vectoriel deE, l’application restreintef A est elle aussi linéaire.
Qu'est-ce que l'application linéaire?
- Toute propriété vectorielle — i.e. que l’on peut exprimer en termes de combinaisons linéaires — de l’un des espaces a son analogue dans l’autre espace.
. Nous verrons bientôt que les isomorphismes préservent la dimension.
. L’application linéaire (a,b,c)
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