application linéaire cours exo7

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Comment calculer l'application linéaire ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
C'est quoi un K espace vectoriel ?
Les espaces vectoriels à droite sur K sont les espaces vectoriels à gauche sur le corps opposé à K.
Si le corps K est commutatif, les notions d'espaces vectoriels à gauche et à droite coïncident, et l'on peut alors noter à gauche ou à droite (au choix) la multiplication par un scalaire.
Comment déterminer le rang de F ?
Le théorème du rang donne une relation entre la dimension du noyau et la dimension de l'image de f.
Dans la pratique, cette formule sert à déterminer la dimension du noyau connaissant le rang, ou bien le rang connaissant la dimension du noyau.
Maintenant, par le théorème du rang, dim Kerf = dimR4 − rg f = 4 − 2=2.
Un espace vectoriel est un ensemble formé de vecteurs, de sorte que l'on puisse additionner (et soustraire) deux vecteurs u, v pour en former un troisième u + v (ou u − v) et aussi afin que l'on puisse multiplier chaque vecteur u d'un facteur λ pour obtenir un vecteur λ · u.

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. Toute application linéairef?L(E,F)est un morphisme de groupes additifs, donc :f(0E)=0F.
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