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Comment calculer application linéaire ?
Pour montrer que f est une application linéaire, il suffit de vérifier que f(u + λv) = f(u) + λf(v) pour tous u, v ∈ E,λ ∈ K.
Propriétés.
Si f:E → F est une application linéaire alors • f(0) = 0, • f(λ1u1 + ··· + λnun) = λ1f(u1) + ··· + λnf(un).
Comment déterminer IMF et KERF ?
Donc Kerf est de dimension 1 et une base est donnée par un seul vecteur : X − 1. 3.
Par le théor`eme du rang la dimension de l'image est : dim Imf = dimRn[X] − dim Kerf = (n + 1) − 1 = n.
Comment calculer le ker de F ?
Le noyau de f , noté par Ker(f ), est l'ensemble des antécédents du vecteur 0 : Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (−1 1 ) y ∈ R} = 〈 (−1 1 ) 〉.
Donc une base est (−1 1 ) .
Pour déterminer ker(f), il s'agit de trouver les solutions de AX = 0 et pour déterminer im(f), il s'agit de trouver les B pour lesquels AX = B a une solution, dans les deux cas échelonnons à l'aide de l'algorithme du pivot de Gauss le système suivant :   1 −1 3 −1 2 1 3 4 −1 2 −4 3   ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣   a b c   .

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