Le barycentre !

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Barycentre

Application : Le barycentre de A 1 10 et B 1 5 est aussi le barycentre de (A1) et (B2) Propriété 7 : Le barycentre de deux point A et B se situe sur la droite (AB) Réciproquement si trois points sont alignés alors l’un est le barycentre des deux autres Application : Soit les trois alignés A B et C alignés comme sur la ﬁgure

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Barycentres : Résumé de cours et méthodes 1 Barycentre de

2 Barycentre de trois points DÉFINITION Si a+b+c 6= 0 le barycentre des points pondérés (Aa)(Bb)(Cc) est le point − → − → −→ −→ G tel que a GA+bGB+cGC = 0 PROPRIÉTÉ Si a+b+c 6= 0 le barycentre du système (Aka)(Bkb)(Ckc) (avec k 6= 0) est le même que celui du système (Aa)(Bb)(Cc)

PDF	CHAPITRE 09 : Barycentre Physiquement on appelle barycentre d’un ensemble de points pesants le point d’équilibre de cet ensemble de points Mathématiquement la notion est étendue à des coefficients qui peuvent être négatifs

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Exercices sur le barycentre

Pour les exercices suivants justiﬁer de l’existence du barycentre G puis le construire 1) ABCD est un rectangle et G le barycentre de (A;1) (B;2) (C;2) (D;2) 2) ABCD est un parallélogramme et G barycentre de (A;2) (B;3) (C;2) (D;2) 3) ABCD est un quadrilatère et G est le barycentre de (A;1) (B;3) (C;2) (D;2) Exercice 17 :

PDF	Cours 2 Cours 2 – BARYCENTRES – Définition Un point pondéré est un couple ( A a ) formé d’un point A et d’un coeffici ent réel a Barycentre d’un système de plusieurs points pondérés On se place par exemple dans le cas de trois points pondérés (A a ) (B b ) (C c )

Comment calculer le barycentre ?
G=barycentre(A,a)(B,b)(C,c) | {z } G=barycentre(A,a)(G 1,b+c) On peut donc «remplacer» deux points pondérés d’un système par leur barycentre (dit «partiel») affecté de la somme de leurs coefﬁcients Application à la construction du barycentre de trois points : D’après le principe ci-dessus, cela revient à construire deux barycentres de deux points.
Comment trouver le barycentre d'un système de trois points pondérés ?
Pour trouver le barycentre G de n points, on peut remplacer plusieurs d'entre eux par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients. Cette propriété fournit une méthode de construction du barycentre d'un système de trois points pondérés ou plus.
Qu'est-ce que le barycentre de deux points ?
On appelle isobarycentre de deux points A et B, le barycentre de ces deux points pondérés par un même coefﬁcient. Il s’agit en fait du milieu du segment [AB]. Exemple : on peut afﬁrmer sans calculs que le barycentre du système (A,−3)(B,−3) est le milieu de [AB]. 2Barycentre de trois points DÉFINITION
Quel est le barycentre d'un système ?
Donc, J est aussi le barycentre de (A,1)(B,1)(C,2) (on «remplace» (I,2) par (A,1)(B,1)). Or, K est le barycentre de (A,1)(C,2), on peut donc «remplacer» (A,1)(C,2) dans le système par (K,3). On en déduit que J est le barycentre de (K,3)(B,1) et donc que les points B, K et J sont alignés.

1. Barycentre d’un système de deux points

Physiquement, on appelle barycentre d’un ensemble de points pesants, le point d’équilibre de cet ensemble de points. Mathématiquement, la notion est étendue à des coefficients qui peuvent être négatifs. ipn.mr

a) Point pondéré Définition

Soit un point du plan , et soit un nombre réel. La notation ou signifie que le point est affecté du coefficient , ou que le point pondéré est affecté de la masse . ipn.mr

b) Barycentre de deux points Définition

Soit et deux points du plan . Et soit et deux nombres réels tels que ; . Il existe un point unique vérifiant ; Le point est appelé barycentre des deux points et affectés respectivement des coefficients et . On peut aussi dire que ; est le barycentre du système des deux points pondérés ; . ipn.mr

c) Propriété

ou Le point est le barycentre de deux points et affectés respectivement des deux coefficients et si et seulement si ; . ipn.mr

e) Construction du barycentre de deux points Exercice

Montrer que ; Remarque Dans le repère , le point a pour abscisse ; Dans le repère , le point a pour abscisse ; ipn.mr

Exemple 3

et sont deux points distincts. Soit Donner l’abscisse du point dans le repère . Solution ipn.mr

Exemple 4

et sont deux points distincts. Donner les abscisses des points , et dans le repère , sachant que ; Solution ipn.mr

Exemple 5

et sont deux points distincts. Donner les abscisses des points , et dans le repère , tels que ; Solution f) Méthodes de construction du barycentre de deux points a- Méthode de l’abscisse ipn.mr

b- Méthode du parallélogramme

Soit et soit un point du plan tel que ; Soit le point tel que et on définit les points et par ; est un parallélogramme. Or, ipn.mr

Exemple 7

En utilisant la méthode du parallélogramme, construire le point ; Solution ipn.mr

c- Méthode des parallèles

Cette méthode consiste à ; Tracer le segment , Choisir un vecteur unité , Sur les droites et , tracer les deux vecteurs et respectivement à partir des points et , Joindre les deux extrémités des deux vecteurs et , soit et leurs extrémités respectives. Le point de concours des deux droites et est le point barycentre du système ipn.mr

Justification

Construisons le point Sur les droites parallèles et , construisons les points et définis par ; Comme ; ipn.mr

g) Existence et unicité de

existe si, et seulement si ; . La relation ; établit l’existence et l’unicité de . ipn.mr

h) Lien vectoriel du barycentre de deux points

L’égalité implique que i) L’ensemble des barycentres de et génère la droite . Soit et deux points distincts ; la droite est l’ensemble des barycentres des deux points et . Autrement dit ; ils existent deux réels et tels que ; Avec, ipn.mr

Exercice

Démontrer la propriété précédente. Remarque Pour montrer que trois points sont alignés, il suffit de montrer que l’un d’eux peut s’exprimer comme barycentre des deux autres. ( et sont de même signe) ( et sont de signes contraires) Remarques  Si Avec , alors ; est plus proche de que de .  Si Avec , alors ; est plus proche de que de . ipn.mr

j) Opérations conservant le barycentre Théorème de l’homogénéité (Proportionnalité du barycentre)

En multipliant ou en divisant les coefficients et par un même nombre réel non nul , le barycentre est conservé ; ipn.mr

k) Isobarycentre de deux points

On définit l’isobarycentre de deux points comme le barycentre de deux points affectés du même coefficient non nul, c’est –à-dire ; est isobarycentre de et si, et seulement si ; a pour milieu ipn.mr

l) Fonction vectorielle de Leibniz

Soit et deux points du plan , et soit et deux nombres réels. Pour tout point du plan , on définit la fonction ; appelée fonction vectorielle de Leibniz, associée au système de points pondérés ; . Avec est constante ; (indépendante de ) ipn.mr

m) La projection conserve le barycentre

La projection conserve le barycentre ; c’est-à-dire ; Si Et et sont les projetés respectifs de et . Sur la droite parallèlement à . Alors ; ipn.mr

n) Caractérisation du barycentre Propriété

Soit et deux points pondérés tels que et est le barycentre du système . Alors pour tout point du plan on a ; , que l’on peut écrire ; ipn.mr

2. Barycentre d’un système de trois points Définition

Soit , et trois points du plan . Et soit , et trois nombres réels tels que ; . Il existe un point unique vérifiant ; Le point est appelé barycentre des trois points , et affectés respectivement des trois coefficients , et . ipn.mr

a) Propriété

Le point est le barycentre des trois points , et affectés respectivement des trois coefficients , et si et seulement si ; . Remarque On peut aussi dire que ; est le barycentre du système de points pondérés ou . ipn.mr

Exercice

Démontrer les propriétés précédentes. Remarque Dans le repère , a pour coordonnées ; ipn.mr

b- Méthode du barycentre partiel (Associativité du barycentre)

est conservé lorsqu’on remplace deux points par leur barycentre affecté de la somme de leurs coefficients. ipn.mr

c- Savoir reconnaître un barycentre de trois points Exemple 14

Etant donné les figures suivantes, exprimer comme barycentre de , et . ipn.mr

d) Existence et unicité de

existe si, et seulement si ; . L’égalité ; Etablit l’existence et l’unicité du barycentre . ipn.mr

e) Lien vectoriel du barycentre de trois points

ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr ABCD un quadrilatère dans le plan. G est l’isobarycentre des points ABC. O est l’isobarycentre des points A ; B ; C ; D. Montrer que les points O ; G ; D sont alignés. ipn.mr

Le barycentre dans le plan. séance 1. 1Bac sciences. barycentre des points et Homogénéité et figure

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1/ Défintion Du Barycentre

Soit le système de points pondérés de l’espace : { ( A ; a ) ; (B ; b ) ; ( C ;c ) }. Si la somme des coefficients a+b+c est non nulle alors : il existe un unique point G de l’espace tel que : Ce point est appelé barycentre des points A, B et C affectés des coefficients a, b et c Et noté : G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c ). 1) Les coefficients so...

2/ Propriétés Du Barycentre

Propriété fondamentale: soit G bar ( A ; a ) ( B ; b ) ( C ; c ) Pour tout point M de l’espace : Conséquences : * Soit G bar ( A ; a ) ( B ; b). Pour tout point M de l’espace : Donc, en particulier en prenant M = A : Le point G appartient donc à la droite (AB). D’où la propriété : ?Si G bar ( A ; a ) ( B ; b) alors A, B et G sont alignés. Réciproqu...

Qu'est-ce qu'un barycentre en maths ?

En mathématiques, le barycentre d'un ensemble fini de points du plan ou de l'espace est un point qui permet de réduire certaines combinaisons linéaires de vecteurs.

Comment on calcule le barycentre ?

Les coordonnées X et Y du barycentre s'obtiennent en sommant les coordonnées pondérées de chaque site et en les divisant par la somme des pondérations.
. Autrement dit : pour chaque site, prendre ses coordonnées x et y, les multiplier par leur poids relatif, en faire la somme puis diviser par le total des poids relatifs.

Est-ce que le barycentre est le centre de gravité ?

Re : Différence de centre : barycentre/gravité Quand on prend un ensemble de masses soumises à un champ de pesanteur, la résultante des forces est équivalente à une force unique qui s'applique au centre de masse (alias le barycentre), d'où l'appellation de centre de gravité.

Qu'est-ce que l'ISO barycentre ?

isobarycentre n.m. Barycentre de points affectés de coefficients égaux.

Comment définir le barycentre ?

Définition du barycentre par une relation vectorielle On définit le barycentre de deux points A et B du plan affectés des coefficients de pondération a et b (avec la somme a + b non nulle) comme l'unique point G vérifiant la relation vectorielle En effet, à l'aide de la relation de Chasles, cette relation peut se réécrire sous la forme

Qu'est-ce que le barycentre ?

Lorsque ces coefficients de pondération sont égaux, le barycentre est appelé isobarycentre, et généralise ainsi la notion de centre de gravité d’un triangle . La notion de barycentre est utilisée en physique notamment pour déterminer le point d'équilibre d'un ensemble fini de masses ponctuelles.

Quels sont les avantages d'un barycentre ?

En géométrie affine, les barycentres (et tout particulièrement les isobarycentres) facilitent grandement les problèmes d'alignement et de concours (trois points sont alignés dès que l'un des points est barycentre des deux autres) et permettent des démonstrations élégantes de théorèmes comme le théorème...

Quel est le barycentre d'un coefficient ?

Le barycentre des points (A1, … , An) affectés des coefficients (a1, … , an) est l'unique point G de E tel que . L'existence et l'unicité de ce point se prouvent aisément en utilisant la relation de Chasles .

LE BARYCENTRE.

Le barycentre est une méthode de calcul qui permet de connaitre le centre de gravité entre plusieurs points. Cette méthode scientifique est largement utilisée en logistique pour calculer la ...

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