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Introduction Après de brefs rappels sur les ensembles de nombres nous présen-tons dans ce qui suit les notions d’analyse indispensables à l’étude des fonctions : l’étude des limites ; des généralités sur les fonctions nu-mériques et les fonctions usuelles

PDF Math´ematiques MPSI 2021–2022

D´efinition I 5 On appelle table de v´erit´e d’une assertion le tableau donnant sa valeur de v´erit´e en fonction de celles des assertions utilis´ees pour la construire Exemples I 6 La n´egation la disjonction et la conjonction ont pour tables de v´erit´e : A non A V F F V A B A ou B V V V V F V F V V F F F A B A et B V V V V F F

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C’est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire! C’est la logique – Enfin les mathématiques tententde distinguer le vrai du faux Parexemple «Est-ce qu’une augmentation de 20 puis de 30 est plus intéressante qu’une augmentation de 50 ?» Vous

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À la découverte de l’algèbre

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L’opérateur logique « ou »

L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une (au moins) des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité : FI G U R E 1.2 – Table de vérité de « P ou Q » Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alo

q p ∈ Z et q ∈ N∗.

Alors a p pour un certain p ∈ Z et un certain q ∈ N ∗. De même b = q = p′ avec p′ ∈ Z et q′ ∈ N q′ ∗. Maintenant exo7.emath.fr

q + q′ = qq′

Or le numérateur pq′ qp′ est bien un élément de Z; le dénominateur qq′ est lui un élément de N ∗. Donc p′′ b s’écrit bien de la forme a b avec p′′ ∈ Z, q′′ ∈ q′′ N ∗. Ainsi a b ∈ Q. + = + exo7.emath.fr

2.2. Cas par cas

Si l’on souhaite vérifier une assertion P (x pour tous les x dans un ensemble ) E, on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E, puis pour les x n’appartenant pas à A. C’est la méthode de disjonction ou du exo7.emath.fr

2.4. Absurde

Le raisonnement par l’absurde pour montrer « P ⇒ Q » repose sur le principe suivant : on suppose à la = fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si P est vraie alors Q doit être vraie et donc « P ⇒ Q » est vraie. = exo7.emath.fr

2.5. Contre-exemple

Si l’on veut montrer qu’une assertion du type « ∀x ∈ E P x » est vraie alors pour chaque x de E il faut ( ) montrer que P x est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il sufit de trouver ( ) x ∈ E tel que P x soit fausse. (Rappelez-vous la négation de « ∀x ∈ ( ) E P x » est « ∃x ∈ E non P x ».) ( ) ( ) Trouver un tel x

4.3. Nombres d’applications

Soient E, F des ensembles finis, non vides. On note Card E n et Card F p. = = exo7.emath.fr

Proposition 6.

Le nombre d’applications différentes de E dans F est : pn Autrement dit c’est Card ( F CardE . ) exo7.emath.fr

5.1. Définition

Une relation sur un ensemble E, c’est la donnée pour tout couple x, y ∈ E × E de « Vrai » (s’ils sont en ( ) relation), ou de « Faux » sinon. Nous schématisons une relation ainsi : les éléments de E sont des points, une flèche de x vers y signifie que x est en relation avec y, c’est-à-dire que l’on associe « Vrai » au couple (x, y ). exo7.emath.fr

Définition 8.

Soit E un ensemble et R une relation, c’est une relation d’équivalence si : • ∀x ∈ E, xR x, exo7.emath.fr

Si z a i b et z′ a′ i b′

sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes : = + = + exo7.emath.fr

1.3. Partie réelle et imaginaire

Soit z a i b un nombre complexe, sa partie réelle est le réel a et on la note Re = + exo7.emath.fr

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Le mot cours avec un s Il désigne des choses très diverses : un enseignement ( le cours de maths ), un mouvement de l'eau ( un cours d'eau ), l'évolution de quelque chose dans le temps ( le cours des choses ), la fluctuation d'une valeur en Bourse ( le cours du baril ), une avenue ( le cours Lafayette ).

Comment apprendre les maths tout seul ?

S'il y avait d'autres conseils à donner pour apprendre seul les maths, ce serait de se concentrer sur la régularité et la constance des révisions : il est préférable de travailler 20 à 30 minutes tous les jours ou tous les deux jours, plutôt que trois heures d'affilée une fois par semaine.





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