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Dans le raisonnement par récurrence, il y a 3 étapes: l' initialisation, l' hérédité et la conclusion.

Quel est le principe du raisonnement par récurrence ?

C'est quoi l'hypothèse de récurrence ? Lors d'un raisonnement par récurrence, nous faisons l'hypothèse que la proposition est vraie pour un certain rang, afin de le démontrer pour le rang suivant.
Cette hypothèse est appelée hypothèse de récurrence.

Pourquoi on utilise le raisonnement par récurrence ?

Le raisonnement par récurrence sert à démontrer qu'une proposition est vraie pour tout entier naturel n.
C'est l'une des méthodes de démonstration utilisées en mathématiques.

Comment définir la suite par récurrence ?

Une suite est définie par récurrence lorsqu'un terme dépend du ou des terme(s) précédent(s).
On peut pas calculer les termes directement sans connaître les précédents.
Si on veut u3, on commence par calculer u1 et u2.

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Vocabulaire

Pour rappel, une suite convergente est une suite qui tend vers un certain nombre, appelé limite de la suite, lorsque n tend vers l'infini. C'est donc une suite u telle qu'il existe un nombre réel l tel que . Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente. Deux suites adjacentes sont deux suites, l'une croissante, l'autre décroissante, tell...

Propriétés

• Toute suite croissante et majorée est convergente et toute suite décroissante et minorée est convergente (mais attention, leur limite n'est pas forcément le majorant ou le minorant). • Si deux suites sont adjacentes, alors elles sont convergentes et convergent vers la même limite.

Suites définies Par récurrence

Une suite définie par récurrence est une suite dont on connaît un terme et une relation reliant pour tout n terme un+1 au terme un. Par exemple, la suite est définie par récurrence.

Principe du raisonnement par récurrence : Si la propriété P est : - vraie au rang n0 (Initialisation), - héréditaire à partir du rang n0 (Hérédité), alors la propriété P est vraie pour tout entier n n0. Dans l'exemple, le premier domino tombe (initialisation). Ici n0 = 1. L'hérédité est vérifiée (voir plus haut).

Comment résoudre une suite par récurrence ?

Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.
. Si par exemple la relation lie u_n₊₂, u_n₊₁ et un alors : l'initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l'hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

Quelles sont les suites définies par récurrence ?

En mathématiques, une suite définie par récurrence est une suite définie par son (ou ses) premier(s) terme(s) et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.

Comment a été élaboré le raisonnement par récurrence ?

On trouve dans le Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal, écrit en 1654 mais publié en 1665, ce qui est généralement considéré comme la première utilisation tout à fait explicite du raisonnement par récurrence.

Qu'est-ce que le raisonnement par récurrence?

Raisonnement par récurrence. Le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement qui permet de démontrer qu'une propriété qui dépend d'un entier naturel n est vraie pour tout n. Par exemple, un raisonnement par récurrence permet de démontrer que 4 n-1 est toujours un multiple de 3. Un raisonnement par récurrence se décompose en 4 étapes.

Quels sont les cas d’utilisation du raisonnement par récurrence ?

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente. Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes. l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

Quel est le principe de récurrence ?

? Par exemple Weis et Leroy, Le langage CAML, InterEditions, 1993, p. 54 : « Ce principe est en fait évident : les deux propriétés demandées par le principe de récurrence permettent facilement de démontrer la propriété P pour toute valeur entière.

Quelle est l’histoire de la récurrence en mathématiques ?

Histoire de la récurrence en mathématiques. Véritable porte d’entrée sur l’infini, le raisonnement par récurrence a été anticipé par des mathématiciens de l’Antiquité, du Moyen Âge et de la Renaissance. Il a été formalisé comme principe fondamental de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano et ses collaborateurs.

Le principe du raisonnement par récurrence rappelle les dominos que l’on aligne et que l’on fait tomber, les uns à la suite des autres. On positionne les dominos de telle sorte que, dès que l’un tombe, peu importe lequel, il entraîne le suivant dans sa chute. C’est l’hérédité.

Suites : raisonnement par récurrence

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