comment montrer qu'une fonction est uniformement continue

PDF	Fonctions uniform´ement continues R Montrer que le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier La compos ́ee de deux fonctions en escalier est toujours une fonction en escalier Est-ce vrai ou faux ? (Justifier)

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Problème 1 : continuité uniforme

Théorème de Heine Soit I = [a; b] (a < b) un segment de R On se propose de démontrer le théorème de Heine 1 : si une fonction G est continue sur I alors elle est uniformément continue sur I On suppose dans la suite que G est une fonction continue sur I = [a; b] et que G n’est pas uniformément continue sur I 8 1

Comment savoir si une fonction est uniformément continue ?
Problème 1 : continuité uniforme Étant donnée une fonction f de variable réelle déﬁnie sur un intervalle I d’intérieur non vide, on dit que f est uniformément continue sur I lorsque : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀(x,y)∈ I2, \u0010 |x−y| 6η ⇒ |f(x)−f(y)| 6ε \u0011 1. Écrire à l’aide de quantiﬁcateurs la proposition « f n’est pas uniformément continue sur I ». 2.
Comment montrer que f et G sont uniformément continues ?
Exercice 5 - Composition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit f: I→ R f: I → R et g: R→R g: R → R . On suppose que f f et g g sont uniformémement continues. Montrer que g∘f g ∘ f est uniformément continue. On suppose que f f est uniformément continue et bornée et que g g est continue.
Qu'est-ce que la continuité uniforme ?
La continuité uniforme, couplée au théorème de Heine, est un outil très puissant pour réaliser des approximations de fonctions : ainsi, c'est un argument essentiel dans le théorème de Weierstrass d'approximation des fonctions continues par des polynômes, ou dans le théorème de Fejér. Elle est aussi utile en théorie de l'intégration.
Comment savoir si une fonction est continue ?
Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle contenant un réel . est continue en si : lim ( ) = ( ). est continue sur si est continue en tout point de . Théorème : Si une fonction est dérivable sur un intervalle intervalle. Les fonctions suivantes sont continues sur l’intervalle donné.

Exercice 114

Montrer que le produit de deux fonctions en escalier est une fonction en escalier. La compos ́ee de deux fonctions en escalier est toujours une fonction en escalier. Est-ce vrai ou faux ? (Justifier). licence-math.univ-lyon1.fr

Exercice 117

Prouver l’ ́enonc ́e suivant : Si f est une fonction continue sur un intervalle [a b ] (o`u a b alors f est nulle sur [a b ]. ), `a valeurs positives, telle que licence-math.univ-lyon1.fr

Z f(t)dt = 0

comme une question de cours (mais sans regarder celui-ci), en rappelant la d ́emonstration fournie en cours. en centrant la preuve sur l’existence d’une primitive de f sur [a b ]. licence-math.univ-lyon1.fr

Uniformement Continue-Lipschitzienne: definition+propriétés

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Comment démontrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.
Comment prouver qu'une fonction est continue sur R ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).
Comment montrer la continuité d'une fonction sur un intervalle ?
f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un nombre réel de I.
1f est continue en a si, et seulement si, f f f a une limite en a a a égale à f ( a ) f(a) f(a) , ainsi : lim ?2f f f est continue sur I I I si, et seulement si, f f f est continue en tout nombre réel de I I I.
La fonction f est continue en a si f(x) peut être rendu aussi proche que l'on veut de f(a), en prenant x assez proche de a : f est continue en a?limx?af(x)=f(a), ce qui signifie aussi que pour tout réel strictement positif ?, il est possible déterminer un réel strictement positif ? tel que : x?a<??f(x)?f(a)<?.

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. R est dite intégrable sur [a,b], si. ??> 0, ?f1,f2 :[a,b] \u000E.
. R fonctions en escaliers telles que: 1. f1 6 f 6 f2 (i.e. ?x ? [a,b],f1(x) 6 f(x) 6 f2(x)) 2.

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. De nition 1 On appelle p\u0013eriode d’une fonction f: R C tout nombre r\u0013eel T tel que 8t2R;f(t+ T) = f(t): On dit que f est p\u0013eriodique si elle admet une p\u0013eriode non nulle, et plus pr\u0013ecis\u0013ement qu’elle est T- p\u0013eriodique si T est une p\u0013eriode strictement positive.

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