continuité uniforme graphiquement

PDF	Continuité uniforme 20 oct 2016 · Graphiquement la proposition 1 traduit le fait que si deux points quelconques sont proches leurs images par une fonction uniformé- ment

Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ϵ>0, il existe δ>0 tel que pour tout points x,y dans R, x−y<δ implique que f(x)−f(y)<ϵ.
En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.
Quand Dit-on qu'une fonction est uniformément continue ?
En particulier, une fonction continue f de E dans un espace métrique est uniformément continue dans les cas suivants : E est un segment réel ; E = ℝ et f est périodique ; E = ℝⁿ et f est nulle à l'infini.
Comment montrer la continuité d'une fonction sur un intervalle ?
Si une fonction f f f est définie, continue et strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ] [a; b ] [a;b] alors, pour tout réel k k k compris entre f ( a ) f(a) f(a) et f ( b ) f(b) f(b), l'équation f ( x ) = k f(x)=k f(x)=k a une unique solution dans l'intervalle [ a ; b ] . [a; b ].
Théorème Application lipschitzienne Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur un intervalle I (∃k ∈ +, ∀(x, y) ∈ I2 : ƒ(x) − ƒ(y)  kx − y).
Alors ƒ est uniformément continue sur I.

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Comment montrer que f est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.
Comment savoir si une courbe est continue ?
Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever le crayon". Propriétés : 1) Les fonctions x xn (n ?N ) et plus généralement les fonctions polynômes sont continues sur R .
Quand Dit-on qu'une fonction est uniformément continue ?
Définition : Soit f une fonction entre deux espaces métriques E et F. On dit que f est uniformément continue si pour tout ?>0, il existe ??>0 vérifiant que pour tout a?E, B(a,??)?f?1(B(f(a);?)).
La fonction f est dite continue au point a si f(a) est une limite de f en ce point. Si F est séparé (ou même seulement T₁) comme tout espace métrisable, il suffit pour cela qu'il existe une limite de f en ce point.

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Comment calculer la continuité d’une fonction?

(voir plus loin). f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I.
. Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau.
. La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut".

Comment montrer la continuité et la monotonie d’une fonction?

• Un tableau de variation pourra être suf?sant pour montrer la continuité et la monotonie de la fonction.
. Exemple : Soit la fonction f dé?nie sur R par : f(x) = x3 +x ? 1.
. Montrer que l’équation f(x) = 0 n’admet qu’une solution sur R.
. On donnera un enca- drement à l’unité de cette solution.

Quelle est la différence entre une fonction continue et une fonction dérivable?

Un petit exemple : La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau.
. Par contre, la fonction n’est pas déri- vable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.
. La fonction valeur absolue x 7? x est continue mais pas dérivable en 0.

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