fonction uniformément continue non lipschitzienne

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Comment montrer qu'une fonction n'est pas lipschitzienne ?
parmi les fonctions à une variable, définies et continues sur un intervalle I⊂R, les fonctions non lipschitziennes sont celles qui ont au moins une tangente verticale quelque part sur I.
Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue.
En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
Quand Dit-on qu'une fonction est uniformément continue ?
En particulier, une fonction continue f de E dans un espace métrique est uniformément continue dans les cas suivants : E est un segment réel ; E = ℝ et f est périodique ; E = ℝⁿ et f est nulle à l'infini.
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ϵ>0, il existe δ>0 tel que pour tout points x,y dans R, x−y<δ implique que f(x)−f(y)<ϵ.
En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.

Une fonction lipschitzienne est uniformément continue mais la réciproque est fausse. Un contre-exemple est la fonction racine carrée sur [0,1] qui est uniformément continue mais non lipschitzienne.

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Comment montrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.
Comment montrer qu'une fonction n'est pas lipschitzienne ?
parmi les fonctions à une variable, définies et continues sur un intervalle I?R, les fonctions non lipschitziennes sont celles qui ont au moins une tangente verticale quelque part sur I.
Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.
En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. Tout d'abord, une fonction f est continue si à des variations infinitésimales de la variable x correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).

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