fonction continue mais pas uniformément continue

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Quand Dit-on qu'une fonction est uniformément continue ?
En particulier, une fonction continue f de E dans un espace métrique est uniformément continue dans les cas suivants : E est un segment réel ; E = ℝ et f est périodique ; E = ℝⁿ et f est nulle à l'infini.
Comment déterminer si une fonction est continue ?
f est une fonction définie sur un intervalle I et a est un nombre réel de I.
1f f f est continue en a a a si, et seulement si, f f f a une limite en a a a égale à f ( a ) f(a) f(a) , ainsi : lim ⁡2f f f est continue sur I I I si, et seulement si, f f f est continue en tout nombre réel de I I I.
Comment montrer que toute fonction lipschitzienne est uniformément continue ?
Théorème Application lipschitzienne Soit ƒ une fonction lipschitzienne sur un intervalle I (∃k ∈ +, ∀(x, y) ∈ I2 : ƒ(x) − ƒ(y)  kx − y).
Alors ƒ est uniformément continue sur I.
Si une fonction ne respecte pas les critères de définition de continuité en �� = �� , alors on dit que �� ( �� ) est discontinue en �� = �� .

Intuitivement, une fonction n'est pas uniformément continue si l'on peut prendre des points arbitrairement proches tels que leurs écarts ne soient pas arbitrairement proches. Ainsi, les fonctions f(x)=x2 f ( x ) = x 2 et g(x)=sin(ex) g ( x ) = sin ne sont pas uniformément continues sur R (voir le dessin).

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Comment calculer la continuité d’une fonction ?

(voir plus loin). f(x)= f(a) La fonction f est continue sur un intervalle I si, et seulement si, f est continue en tout point de I.
. Remarque : Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par une courbe en un seul morceau.
. La fonction de gauche représente une discontinuité par "saut".

Comment savoir si une fonction est continue ?

x est continue sur [0;+?[&] • Les fonctions x 7?sinx et x 7?cosx sont continues sur R. • D’une façon générale, toutes fonctions construites par opération ou par com- position à partir des fonctions ci-dessus sont continues sur leur ensemble de dé?nition, en particulier les fonctions rationnelles.

Quelle est la différence entre une fonction continue et une fonction dérivable ?

Un petit exemple : La fonction dont la représentation est ci-contre, est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau.
. Par contre, la fonction n’est pas déri- vable en a, car la représentation admet au point A deux demi-tangentes.
. La fonction valeur absolue x 7? x est continue mais pas dérivable en 0.

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