connexité exercices corrigés

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Comment montrer la connexité ?
Démontrer que D est connexe par arcs.
Il suffit de démontrer que pour tout x∈D x ∈ D et tout a∈C, a ∈ C , il existe un chemin continu γ γ tel que γ(0)=x, γ ( 0 ) = x , γ(1)=a γ ( 1 ) = a et γ(]0,1])⊂C.
La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ».
Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ».
Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié.

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Comment montrer la connexité ?
On souhaite démontrer à l'aide de la connexité par arcs le résultat classique suivant : si f est continue et injective, alors f est strictement monotone. Pour cela, on pose C={(x,y)?R2; x>y} C = { ( x , y ) ? R 2 ; x > y } et F(x,y)=f(x)?f(y) F ( x , y ) = f ( x ) ? f ( y ) , pour (x,y)?C ( x , y ) ? C .
Quand Dit-on qu'un ensemble est connexe ?
La connexité est une notion de topologie qui formalise le concept d'« objet d'un seul tenant ». Un objet est dit connexe s'il est fait d'un seul « morceau ». Dans le cas contraire, chacun des morceaux est une composante connexe de l'objet étudié.
Définition 1.6 (Partie connexe). Une partie A d'un espace topologique X est dite connexe lorsqu'elle l'est en tant que sous-espace topologique muni de la topologie induite. Exemple 1.7. L'intervalle [0,1] ? R est une partie connexe de R.

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