Les Suites Arithmético - Géometrique

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Comment résoudre une suite arithmético-géométrique ?
Étant donnée une suite arithmético-géométrique définie par u ₀ = 0 et ∀ n ∈ N, u _n ₊₁ = 3 u _n + 4, on résout l'équation λ = 3 λ + 4, dont l'unique solution est −2.
Puis on introduit la suite v définie par ∀ n ∈ N, v _n = u _n + 2.
Alors pour tout n ∈ N on obtient v _n ₊₁ = u _n ₊₁ + 2 = (3 u _n + 4) + 2 = 3 v _n .
Comment exprimer une suite arithmético-géométrique en fonction de n ?
Propriété : Si (un)n∈N est une suite géométrique de raison q et de premier terme u0, alors l'expression de un en fonction de n est donnée par : ∀n ∈ N,un = qnu0.
Une suite géométrique est donc définie par sa raison q et son premier terme u0.
Quelle est la formule de la suite géométrique ?
Le nombre réel q est appelé la raison de la suite (vn).
Exemple (v_n) est la suite géométrique de raison \\dfrac{1}{2} et de premier terme v_0 =1.
Pour tout entier naturel n, la suite est définie par : v_{n+1}=\\dfrac{1}{2} v_{n}.
Ainsi, v_{0}=1, v_{1}=\\dfrac{1}{2}, v_{2}=\\dfrac{1}{4}, v_{3}=\\dfrac{1}{8},
Pour une suite géométrique, le quotient entre termes consécutifs est constant, alors que pour une suite arithmétique, c'est la différence entre termes consécutifs qui est constante.

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

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