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Si nous voulons montrer que la suite (un) est majorée, nous devons montrer qu'il existe M ∈ R tel que pour 1 Page 2 tout entier n, un ≤ M.
Pour cela, il suffit que f(] − ∞,M]) ⊂] − ∞,M], et l'on peut alors montrer par récurrence sur n que un ≤ M.

Comment déterminer la limite d'une suite récurrente ?

Soit une suite (un) définie par u0 et un+1 = f(un) convergente vers ℓ.
Si la fonction associée f est continue en ℓ, alors la limite de la suite ℓ est solution de l'équation f(x) = x.
Calculer la limite de la suite (un) définie par u0 = 1 et un+1 = √2 + un._{9 oct. 2013}

Comment étudier une suite récurrente ?

Voici une méthode générale pour étudier une suite récurrente définie par un+1=f(un) u n + 1 = f ( u n ) , où f:D→R f : D → R est continue et u0∈I u 0 ∈ I .
Etape 1 : Etudier la fonction f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,\u202.
6) Etape 2 : Résoudre l'équation aux limites possibles f(l)=l f ( l ) = l .

Comment montrer qu'une suite récurrente est convergente ?

Soit f : [a, b] → [a, b] une fonction de classe C2.
On suppose qu'il existe l > 0 tel que f (x) ≤ l < 1 pour tout x ∈ [a, b].
Soit u0 ∈ [a, b] et soit un la suite définie par récurrence par un+1 = f(un).
Alors, la suite un converge vers l'unique point fixe α de f.

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La Convergence d'une Suite récurrente associée

La présence de points fixes fait que la suite peut devenir stationnaire (constante au-delà d'un certain rang). Il suffit qu'il existe un rang n {\\displaystyle n} tel que u n = x {\\displaystyle u_{n}=x} : tous les rangs supérieurs donneront une sous-suite stationnaire. Mais ce qui est intéressant est que cela permet de déterminer la limite de la sui...

2.8 Limites des suites récurrentes. On présente une approche assez générale pour résoudre les exercices qui consistent à déterminer la limite d'une suite récurrente. Les suites à étudier sont des récurrences linéaires de la forme x

Comment savoir si une suite est récurrente ?

Une suite est dite récurrente quand le terme un+1 est donné sous la forme un+1 = f(un), dans ce cas on peut calculer tous les terme sde la suite `a partir du moment o`u on connait u0; par exemple si on suppose que u0 = 0 et que un+1 = un + 1 (dans ce cas f(x) = x + 1) alors un = n pour tout n.

Quel est la limite de la suite ?

Limite en ?? : La limite d'une suite, si elle existe, est unique.
. Une suite n'a pas nécessairement de limite.
. C'est le cas pour les suites alternées, c'est-à-dire qui alternent entre deux valeurs, ou pour celles dont les valeurs oscillent.

Comment étudier la convergence d'une suite récurrente ?

On suppose qu'il existe l > 0 tel que f (x) ? l < 1 pour tout x ? [a, b].
. Soit u0 ? [a, b] et soit un la suite définie par récurrence par un+1 = f(un).
. Alors, la suite un converge vers l'unique point fixe ? de f.
. De plus, si f (?) est = 0, il existe ? = 0 tel que l'on ait un ?? ? ?f (?)n.

Comment calculer les limites d'une suite définie par récurrence?

Etude de limites de suites définies par récurrence ?????+?=????(?????) I) Généralités . 1) Définition . Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence, qui définit chaque terme à partir du précédent ou des précédents lorsqu'ils existent.

Qu'est-ce que la limite d'une suite récurrente ?

En effet, on peut démontrer que la limite d'une suite récurrente est aussi un cas particulier de point fixe. Si une suite récurrente associée possède une limite , alors cette limite est un des points fixes de f. En clair, on a : . Passons à la limite quand tend vers l'infini : Les deux limites sont égales à la limite de la suite, par définition.

Quelle est la limite d'une suite récurrente associée ?

Si une suite récurrente associée possède une limite , alors cette limite est un des points fixes de f. En clair, on a : . Passons à la limite quand tend vers l'infini : Les deux limites sont égales à la limite de la suite, par définition. Si on note la limite de la suite, on a : Ce qui nous dit que la limite est bien un point fixe.

Comment étudier une suite récurrente?

Voici une méthode générale pour étudier une suite récurrente définie par un+1 = f (un) u n + 1 = f ( u n), où f: D ?R f: D ? R est continue et u0 ? I u 0 ? I . Etape 1 : Etudier la fonction f f sur son ensemble de définition (monotonie, croissance,…)

Comment calculer la limite d'une suite recurrente ? est continue en ?, alors en passant à la limite dans la relation de récurrence, on obtient l'égalité (?) = ?. Ce qui veut dire que si une suite () converge alors sa limite est solution de l'équation (?) = ?.

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