math fonctions et suites

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Chapitre 03 : Suites et Séries de fonctions

I Suites de fonctions : Soient l’un des corps ou et une partie non vide de Une suite de fonctions dans K est une application de dans l’ensemble des fonctions de dans K de 1 Convergence simple d’une suite de fonctions : Définition : Une suite de fonctions pour tout la suite numérique

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Chapitre 2 : Suites et séries numériques et de fonctions

II 2 Series de fonctions De la m^eme maniere qu'on avait de ni les series numeriques a partir des suites numeriques on de nit les series de fonctions a partir des suites de fonctions Soit (fn)n une suite de fonctions Donc on s'interesse a la somme f0(x) + f1(x) + + fn(x) +

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Suites et séries de fonctions

I - Suites de fonctions 1) Convergence simple d’une suite de fonctions Définition 1 Soit D une partie non vide de R Soit (fn)n∈N une suite de fonctions déﬁnies sur D à valeurs dans R ou C La suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement vers la fonction f sur D si et seulement si pour chaque x de D la suite numérique (fn(x))n

PDF	Chapitre 2: Suites et séries numériques et de fonctions Soit (f n )n fonctions de terme général dénie par On appele une suite de fonctions (réele ou complexe) X f et on note n n f la suite de fonctions

Comment savoir si une suite de fonctions converge uniformément vers une fonction nulle ?
On suppose que : — La suite de fonctions (un) converge uniformément vers la fonction nulle. — Pour tout x ∈ I, la suite numérique X un(x) est décroissante. Soit X une partie X de R ou . C X X 1. Soit fn une série de fonctions définies sur X à valeurs dans R ou C. 2. Démontrer que toute série de fonctions, à valeurs dans ou C, normalement conver- R
Comment savoir si une suite de fonctions est continue ?
On suppose que la suite de fonctions (fn) converge uniformément sur [a,b] vers une fonction f , et que, ∀n ∈ N, fn est continue en x0, avec x0 ∈ [a,b]. f Démontrer que est continue en x0.
Comment savoir si une suite de fonctions est décroissante ?
Soit une suite de fonctions (un)n∈N positives définies sur un intervalle I ⊂ R. On suppose que : — La suite de fonctions (un) converge uniformément vers la fonction nulle. — Pour tout x ∈ I, la suite numérique X un(x) est décroissante. Soit X une partie X de R ou . C X X 1. Soit fn une série de fonctions définies sur X à valeurs dans R ou C. 2.
Comment calculer l’équivalent simple d’une fonction ?
Déterminer un équivalent simple de f (x) quand x tend vers 0+. . Montrer que f admet une limite finie en +∞. Montrer que f est de classe 1 C sur R ∗. x→0 lim f ′ (x). Donner l’allure de la courbe représentative de f . . Déterminer le domaine de définition de f . La fonction f est-elle continue sur son domaine de définition? de classe C 1 ?

Dénition 1

Soit (f n )n fonctions de terme général dénie par On appele une suite de fonctions (réele ou complexe). X f et on note n n f , la suite de fonctions licence-math.univ-lyon1.fr

Exemple 1

Soit Étudions la (f n )n convergence Fixons simple de la série la suite de fonctions licence-math.univ-lyon1.fr

f X n (z )

converge si et seulement si P f converge n simplement sur le disque limite simple : licence-math.univ-lyon1.fr

3 (Convergence uniforme)

(f n )n uniformément sur n )n converge uniformément sur une suite de fonctions dénies sur licence-math.univ-lyon1.fr

Proposition 2

P Soit converge (R uniformément sur n )n converge f une n uniformément sur série de fonctions qui converge simplement sur D si et seulement si la suite des D vers restes partiels la fonction nule. D . Alors ele Le reste critère d'ordre précédent est particulièrement utile lorsqu'on peut majorer le n . C'est le cas, par exemple, des séries alternées

Dénition 5

Soit X On dit que jf n est On termes dit que positifs f une série de fonctions. n X licence-math.univ-lyon1.fr

f converge n

simplement convergente sur X f converge n X absolument sur normalement sur kf n k est convergente. . licence-math.univ-lyon1.fr

D si

la de fonctions série numérique à Remarques Pour montrer qu'il y a convergence normale, on cherche à majorer kf licence-math.univ-lyon1.fr

n k

par un réel u tel que n Pour montrer qu'il n'y a pas convergence normale, on cherche à minorer kf n licence-math.univ-lyon1.fr

k par

un réel P u soit convergente. n u tel que n P u soit divergente. n licence-math.univ-lyon1.fr

Proposition 3

Soit P f une série de fonctions. n P Si f converge simplement, alors n fonction Si nule. P f converge n uniformément, alors vers Si la fonction nule. P f converge n normalement, alors (f n )n converge simplement vers la (f n )n converge uniformément (kf n licence-math.univ-lyon1.fr

Théorème 3

Soient dans Alors dérivable la série tele que Ce qu'on peut Si chaque formuler a ; licence-math.univ-lyon1.fr

P 1p

est une série de Riemann divergente. On déduit que la série licence-math.univ-lyon1.fr

= R , on

ne peut rien conclure de général sur la convergence de la série licence-math.univ-lyon1.fr

2 n N.

Et donc la formule de récurence Par récurence sur et donc Soient est réele, et convergence P n a x une série entière de rayon de n S sa somme licence-math.univ-lyon1.fr

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Quels sont les 2 types de suites ?

Tu dois savoir qu'il y a 2 types de suites que l'on utilise souvent : les suites géométriques et les suites arithmétiques.

Quelles sont les fonctions en maths ?

En mathématiques, une fonction est un type de relation f entre deux variables.
. On appelle cette relation une fonction lorsque chaque valeur de la variable indépendante est associée à une et une seule valeur de la variable dépendante.

Comment calculer les suites en mathématiques ?

Le terme général d'une suite arithmétique (U_n) est donné par la formule suivante: U_n = U_p + (n-p)×r (où U_p est le terme initial).
. Cas particulier si U₀ est le terme initial, alors U_n=U₀+nr.
. Toute suite arithmétique est caractérisée par sa raison r et son premier terme.

Quelle est la différence entre une fonction et une suite?

Par contre dans les phrases tu mets (u n) avec parenthèses car il s’agit de la suite (u n) en entier, par exemple (u n) est croissante, (u n) est minorée, (u n) est convergente etc… Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1, 2, 3… contrairement à une fonction.

Comment calculer une suite arithmétique ?

Exemple : soit (un) suite arithmétique de premier terme u0 = -2 et de raison r = 4. Heureusement, il existe une formule pour trouver directement ce résultat sans calculer tous les termes de la somme : peuvent se ramener à une suite définie par une fonction. q étant une constante, et donc indépendante de n. q est appelé la raison de la suite.

Comment gérer les termes d’une suite définie par une fonction ?

Représentation des termes d’une suite définie par une fonction : ceci est vrai que si f admet en une limite finie ou infinie. 1° ) Pour ce type de suites, on va donc gérer la recherche de la limite de (un) comme on gérerait la recherche de la limite de f en , mais en utilisant n comme variable. ou encore qu’elle est convergente.

Qu'est-ce que la Fonction associée à la suite ?

f est appelée fonction associée à la suite. Remarque : il existe des relations de récurrence liant plus de deux termes consécutifs et qui ne se ramènent donc pas à ce cas. Représentation des termes d’une suite définie par récurrence : On peut donc à l’aide de la courbe de f, trouver u1 en traçant l’image de u0

L'étude des suites ouvre la porte à celle des séries entières dont le but est d'approcher, non plus des nombres, mais des fonctions. Dans la seconde moitié du XXe siècle, le développement des calculateurs et des ordinateurs donne un second souffle à l'étude des suites en analyse numérique grâce à la méthode des éléments finis.

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