matrice trigonalisable exercice corrigé

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Comment montrer qu'une matrice est Trigonalisable ?

Une matrice est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé dans K[X].
. En particulier, si K est algébriquement clos, toute matrice carrée à coefficients dans K est trigonalisable et donc aussi tout endomorphisme d'un K-espace vectoriel de dimension finie.

Comment faire une Trigonalisation matrice ?

Pour trigonaliser une matrice, il n'y a pas de méthode globale à connaître a priori.
. La trigonalisabilité d'une matrice s'obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice.

Comment diagonaliser une matrice triangulaire ?

Théorème : Matrices diagonalisables particulières Une matrice diagonale est diagonalisable.
. Une matrice triangulaire supérieure dont les éléments diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable.
. Ce n'est pas nécessairement le cas si les coefficient diagonaux ne sont pas distincts.

Comment diagonaliser une matrice dans C ?

Une matrice carrée à coefficients dans K ( K = R ou K = C ) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.

Comment Trigonaliser une matrice ?

On propose des exercices corrigés sur la trigonalisation des matrices. Trigonaliser une matrice c’est la rendre triangulaire supérieur ou inferieur. C’est la réduction des matrices . En fait nous allons donner des application au calcul de l’exponentielle d’une matrice carrée.

Comment montrer qu'une matrice est semblable à une matrice?

Montrer que A A est semblable à la matrice B=? ?. B = ( 1 0 0 0 1 1 0 0 1). Pour la trigonalisation, chercher deux vecteurs propres u 1 u 1 et u 2 u 2, puis un troisième vecteur u 3 u 3 tel que A u 3 = u 3 + u 2 A u 3 = u 3 + u 2.

Quelle est l'unicité d'une matrice triangulaire supérieure?

Il n'y a bien sûr pas unicité ni de la matrice triangulaire supérieure à laquelle A A est semblable, ni de la matrice de passage. D'ailleurs, dans l'exemple de la matrice B B, nous allons donner une forme plus précise à la trigonalisation.

Qu'est-ce que l'endomorphisme trigonalisable ?

Définition: Un endomorphisme de l’espace E E est dit trigonalisable s’il existe une base de E E dans laquelle sa matrice est triangulaire. Une telle base est appelée base de trigonalisation de cet endomorphisme. Notez que toute endomorphisme diagonalisable est également trigonalisable.

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