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History

The theorem is named after Russian mathematician Pafnuty Chebyshev, although it was first formulated by his friend and colleague Irénée-Jules Bienaymé.: 98 The theorem was first stated without proof by Bienaymé in 1853 and later proved by Chebyshev in 1867. His student Andrey Markovprovided another proof in his 1884 Ph.D. thesis.

Statement

Chebyshev's inequality is usually stated for random variables, but can be generalized to a statement about measure spaces.

Proof

Markov's inequality states that for any real-valued random variable Y and any positive number a, we have Pr(|Y| ≥a) ≤ E(|Y|)/a. One way to prove Chebyshev's inequality is to apply Markov's inequality to the random variable Y = (X − μ)2 with a = (kσ)2: 1. Pr ( | X − μ | ≥ k σ ) = Pr ( ( X − μ ) 2 ≥ k 2 σ 2 ) ≤ E [ ( X − μ ) 2 ] k 2 σ 2 = σ 2 k 2 σ 2...

Finite Samples

Univariate case

Sharpened Bounds

Chebyshev's inequality is important because of its applicability to any distribution. As a result of its generality it may not (and usually does not) provide as sharp a bound as alternative methods that can be used if the distribution of the random variable is known. To improve the sharpness of the bounds provided by Chebyshev's inequality a number...

Notes

The Environmental Protection Agencyhas suggested best practices for the use of Chebyshev's inequality for estimating confidence intervals.

What is the Bienaymé formula?

This statement is called the Bienaymé formula and was discovered in 1853. It is often made with the stronger condition that the variables are independent, but being uncorrelated suffices.

Who is Irénée-Jules Bienaymé?

Irénée-Jules Bienaymé ( French: [iʁene ʒyl bjɛnɛme]; 28 August 1796 – 19 October 1878) was a French statistician. He built on the legacy of Laplace generalizing his least squares method.

What did Bienaymé do for a living?

After 23 years, Bienaymé became the examiner for the attribution of the academy's prize in statistics. He was also a founding member of the Société Mathématique de France, holding its presidency in 1875. Bienaymé published only 23 articles, half of which appeared in obscure conditions.

What is the Bienaymé–Chebyshev inequality?

In particular, he formulated the Bienaymé–Chebyshev inequality concerning the law of large numbers and the Bienaymé formula for the variance of a sum of uncorrelated random variables.

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