fonction indicatrice d'un intervalle

PDF	Chapitre2 : Fonctions mesurables Chapitre2_1 Chapitre2 : Fonctions mesurables Voici un tableau de distance) Soient correspondance et entre les notions de tribu (et mesure) et de topologie (induite par une deux ensembles quelconques Théorie de tribu Théorie de topologie

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Exemple : 1Q

Preuve — On regarde d’abord une fonction indicatrice d’intervalle ψ = 1[cd] avec a≤ c≤ d≤ b Il y a au plus quatre intervalles [xi−1xi] qui contiennent l’un des points c ou d Pour tous les autres segments [xk−1xk] la fonction ψest constante sur [xk−1xk] donc sa valeur sur ce segment est ψ(ξk) et (xk −xk−1)ψ

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Fonctionindicatrice

Il s’agit d’un outil permetant d’écrire d’autres fonctions sous une forme plus compacte et tenant sur une seule ligne Une fonction indicatrice est une fonction paramétrée par un sous-ensemble de nombres réels disons A et qui ne peut prendre que deux valeurs: la valeur 1 si la variable de la fonction est élément de A et la

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Intégrale de Riemann

5 Une fonction d’une variable est donc aussi une quantité variable Voici quelques exemples plus élaborés de fonctions au sens d’Euler — inutile de cher-cher à comprendre lorsqu’on ne connaît pas il s’agit juste d’une visite sans guide d’un jardin zoologique mystérieux — : eaz+ e az eaz aze; ( z) := e z z +Y1 n=1 1 + z n

Comment définir une fonction indicatrice ?
Une fonction indicatrice est une fonction paramétrée par un sous-ensemble de nombres réels, disons A, et qui ne peut prendre que deux valeurs: la valeur 1 si la variable de la fonction est élément de A, et la valeur 0 sinon. lorsque l’on évalue la fonction au point x. Par exemple, si A = (a; b], alors 0 si x < 0.
Qu'est-ce que la fonction indicatrice d'un sous-ensemble ?
un ensemble. La fonction indicatrice d'un sous-ensemble de l'ensemble notée est la fonction définie sur qui vaut 1 sur et 0 à l'extérieur de : La fonction de Heaviside (du nom de Oliver Heaviside) est la fonction définie sur comme l'indicatrice de : On utilise souvent la notation à la place .
Quelle est la fonction indicatrice d'un sous-ensemble de l'ensemble notée ?
La fonction indicatrice d'un sous-ensemble de l'ensemble notée est la fonction définie sur qui vaut 1 sur et 0 à l'extérieur de : La fonction de Heaviside (du nom de Oliver Heaviside) est la fonction définie sur comme l'indicatrice de : On utilise souvent la notation à la place . définie sur par peut s'écrire en une seule ligne : pour tout .
Comment calculer la subdivision d’un intervalle ?
Par l’hypothèse (i), pour tout " > 0 arbitrairement petit, il existe une subdivision = " de l’intervalle [a; b] : Assertion 9.5. Alors pour toute autre subdivision quelconque de [a; b] : Démonstration. Comme par arrangement à l’avance on a : chaque intervalle [xx 1; xk] de la subdivision contient toujours au moins deux points de la subdivision .

définition de La Fonction Indicatrice

On appelle fonction indicatrice ou fonction caractéristique une fonction définie sur un ensemble EEE tel que : soit FFF un sous-ensemble de EEE. La fonction indicatrice 1F1_F1Fest définie par : On préfère le nom de fonction indicatrice pour ne pas confondre avec la fonction caractéristique en probabilité. C’est principalement une notation pratique

Exemples

Au lieu de définir la densité de la loi exponentielleen probabilités comme On la définit comme d(x)=1R+(x)1λe−λxd(x) = 1_{\\R_+}(x) \\dfrac{1}{\\lambda} e^{- \\lambda x}d(x)=1R+(x)λ1e−λx Autre exemple : au lieu de définir la valeur absoluecomme On peut la définir comme ∣x∣=−x1R−∗(x)+x1R+∗(x)=x(1R+∗(x)−1R−∗(x))x = -x 1_{\\R_-^*}(x) + x 1_{\\R_+^*}(x)

Exercice Corrigé

Enoncé Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de A. De quels ensembles les fonctions suivantes sont-elles les fonctions indicatrices / caractéristiques ? 1. min⁡(1A,1B)\\min(1_A,1_B)min(1A,1B) 2. max⁡(1A,1B)\\max(1_A,1_B)max(1A,1B) 3. 1A.1B1_A.1_B1A.1B 4. 1−1A1-1_A1−1A 5. 1A+1B−1A1B1_A+1_B-1_A1_B1A+1B−1A1B 6. (1A−1B)2(1_A-1_B)^2(1A−1B)2 Corrigé Soit xx x un élement de EEE 1. min⁡(1A(x),1B(x))=1 ⟺ 1A(x)=1B(x)=1 ⟺ x∈A,x∈B ⟺ x∈A∩B\\min(1_A(x),1_B(x)) = 1 \\iff 1_A(x) = 1_B(x) = 1 \\iff x\\in A, x\\in B \\iff x \\in A \\cap Bmin(1A(x),1B(x))=1⟺1A(x)=1B(x)=1⟺x∈A,x∈B⟺x∈A∩B. Donc min⁡(1A,1B)=1A∩B\\min(1_A,1_B) = 1_{A\\cap B}min(1A,1B)=1A∩B 2. max⁡(1A(x),1B(x))=1 ⟺ 1A(x)=1ou 1B(x)=1 ⟺ x∈Aou x∈B ⟺ x∈A∪B\\max(1_A(x),1_B(x)) = 1 \\iff 1_A(x) = 1 \\text{ ou } 1_B(x) = 1 \\iff x\\in A \\text{ ou } x\\in B \\iff x \\in A \\cup Bmax(1A(x),1B(x))=1⟺1A(x)=1ou

Image dun Intervalle par une Fonction Continue

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MAT2050 : analyse 2 - Université de Montréal

Étant donné un ensemble A on dénote par 1 A sa fonction indicatrice De façon plus générale on écrit par exemple 1 m=n pour dénoter la fonction indicatrice de l’événement m= n Lesymbolelogxdénotetoujourslelogarithmenatureldex(dénotéparlnxdansquelques livres)

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1 Généralités - unicefr

Exercice 7 Prouver que les fonctions suivantes sont mesurables (boréliennes) : 1 la fonction indicatrice de Q ; 2 la fonction f: x7!x+1 si x>0 et xsi x 0; 3 la derivée f0d'une fonction dérivable f Corrigé 7 1 Q est un ensemble borélien car dénombrable Sa fonction indicatrice est donc me-surable 2 Notons g: R 3x7!x+ 1 2R et h: R 3x7

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Feuille d’exercices 1 - unicefr

Universit e de Nice Calcul Int egral L3 1er semestre 2011/2012 Feuille d’exercices 1 Fonctions indicatrices Exercice 1 Rappel : la fonction indicatrice d’une partie Ade Rd (d2N ) est la fonction ˜ A: Rd!f0;1gqui vaut 1 sur Aet 0 sur le compl ementaire de Anot e Ac Tous les ensembles consid er es ci-apr es sont des parties d’un m^eme

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2 0 2 L’intégrale d’une fonction intégrable au sens de Riemann Soit maintenant f une fonction bornée sur [a b] considérons E(f) := {u 2E([a b])avec u f} et E+(f) := {v 2E([a b])avec f v} E(f) et E+(f) sont deux sous-ensembles non vides de E([ab])puisque f est majorée et minorée sur [a b]

définition de La Fonction Indicatrice
On appelle fonction indicatrice ou fonction caractéristique une fonction définie sur un ensemble EEE tel que : soit FFF un sous-ensemble de EEE. La fonction indicatrice 1F1_F1F?est définie par : On préfère le nom de fonction indicatrice pour ne pas confondre avec la fonction caractéristique en probabilité. C’est principalement une notation pratique...
Exemples
Au lieu de définir la densité de la loi exponentielleen probabilités comme On la définit comme d(x)=1R+(x)1?e??xd(x) = 1_{R_+}(x) dfrac{1}{lambda} e^{- lambda x}d(x)=1R+??(x)?1?e??x Autre exemple : au lieu de définir la valeur absoluecomme On peut la définir comme ?x?=?x1R??(x)+x1R+?(x)=x(1R+?(x)?1R??(x))|x| = -x 1_{R_-^*}(x) + x 1_{R_+^*}(x)...

Comment calculer la fonction caractéristique de l’intervalle ?

Donc,nest une approximation lisse de la fonction caractéristique de l’intervalle[a; b]. On peut utiliserces fonctions dans plusieurs contextes. Par exemple, si on veut compter combien de pairs (m; n) 2Z2appartiennent à l’anneauf(x; y)2R2: R0px2+y2 Rg, on peut considérer la sommeP

Comment calculer une fonction indicatrice ?

On préfère le nom de fonction indicatrice pour ne pas confondre avec la fonction caractéristique en probabilité. C’est principalement une notation pratique qui permet de simplifier la manière d’écrire certains calculs. C’est un cas particulier de fonction indicatrice. On la définit comme H (x) = 1_ {R_+} (x) H (x) = 1R+(x).

Quelle est la fonction indicatrice de l’ensemble ?

On observe que où1[0;u) (mod 1)veut dire la fonction indicatrice de l’ensembleSn2Z[n; n+u). Alors, elle est unefonction 1-périodique. Puisque ses seules discontinuités sont de sauts aux points0; u(mod 1),on peut la décomposer en séries de Fourier : six60;1 (mod 1), alors

Comment se transforment les opérations sur les fonctions indicatrices ?

Les opérations sur les ensembles, passage au complémentaire, réunion, intersection, produit cartésiende 2 ensembles se transforment en opérations sur les fonctions indicatrices de la façon suivante : Proposition si Aet Bsont disjoints, pour tout .

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