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Comment calculer la similitude directe ?
On considère une similitude directe f d'écriture complexe z' = az + b (a complexe non nul et b complexe).
Lorsque a = 1, f est la translation dont le vecteur a pour affixe b : - l'ensemble des points fixes de f est vide lorsque b est non nul ; - sinon tout point est invariant (f est l'identité du plan).
z' = az + b.
Comme pour la similitude directe, l'expression complexe d'une similitude indirecte permet d'en déterminer les éléments caractéristiques : son rapport est égal au module de a ; une similitude indirecte n'ayant pas d'angle, on ne peut rien tirer de l'argument de a.

C'est quoi une similitude directe ?

Une similitude directe est une transformation du plan qui multiplie les distances par un réel k>0, et qui conserve les angles orientés.
Le réel strictement positif k est appelé rapport de la similitude directe.

Comment déterminer l'écriture complexe d'une similitude directe ?

Théorème 1 Toute similitude plane directe s de rapport k et d'angle θ est soit une translation, si k = 1 et θ = 0, soit la composée dans n'importe quel ordre d'une rotation de centre Ω et d'angle θ et d'une homothétie de même centre Ω et de rapport k.
Elle admet une écriture complexe de la forme s(z) = ω + ke.

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Comment montrer qu'une similitude est directe ?

Soient A, B, A' et B' quatre points du plan tels que A ? B et A' ? B'.
. Alors, il existe une unique similitude directe s telle que : s(A) = A' et s(B) = B'. Si s existe, le couple ( a ; b ) est unique et s est donc elle aussi unique. B étant différent de A, a est défini.

Comment déterminer le centre d'une similitude directe ?

Une similitude directe ou indirecte est entièrement déterminée par l'image de deux points distincts.
. Plus exactement, si on considère 4 points A, B, A', B' tels que A ? B et A' ? B', il existe une unique similitude directe et une unique similitude indirecte transformant (A, B) en (A', B').

Comment déterminer une similitude ?

? similitude Application f d'un espace affine euclidien dans lui-même telle que la distance des images de deux points quelconques est égale au produit de la distance de ces deux points par un réel strictement positif appelé rapport de similitude.

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