noyau et image d'une application linéaire exercice corrigé

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C'est quoi l'image d'une application ?
On appelle image d'une application f (d'un ensemble A vers un ensemble B) l'image directe par f de l'ensemble de départ A.
C'est donc le sous-ensemble de B contenant les images de tous les éléments de A, et uniquement ces images.
On le note Im(f).
Exemple : « L'image de la fonction sinus est le segment [–1, 1]. »
Comment déterminer le noyau ?
Un élément x de E appartient au noyau de si et seulement si ϕ ( x ) = 0 .
Définition Si f : E → F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ∈ Ef (v)=0}.

Qu'est-ce que le noyau d'une application ?

Noyau d'une application linéaire
Le noyau est un sous-espace de l'espace vectoriel V, et l'espace vectoriel quotient V/ker(f) est isomorphe à l'image de f ; en particulier, le théorème du rang relie les dimensions : L'application linéaire f est injective si et seulement si ker(f) = {0}.

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Comment déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire ?

Définition Si f : E ? F est une application linéaire, son noyau, noté Kerf est l'ensemble des vecteurs de E que f annule : Kerf := {v ? Ef (v)=0}.
. Le noyau de la projection p := (x,y,z) ?? (x,y,0) de R3 sur son plan horizontal est l'axe vertical défini par x = y = 0.

Comment trouver Ker f et IM F ?

Ker(f ) = {x f (x) = 0} = {x Ax = 0} = l'ensemble solutions du système Ax = 0 . {y (?1 1 ) y ? R} = ? (?1 1 ) ?. Donc une base est (?1 1 ) . aussi Im(f ) = ? (1 2 ) ?.

Comment déterminer le noyau et l'image d'un endomorphisme ?

Connaissant la dimension du noyau de \\(f\\), en appliquant le théorème du rang on peut connaître la dimension de l'image de \\(f\\).
. Ce théorème permet en effet d'écrire : \\(\\dim E=\\dim\\textrm{Ker}f+\\dim\\textrm{Im}f\\).
. On a donc \\(\\dim\\textrm{Im}f=\\dim E-\\dim\\textrm{Ker}f=4-2=2\\).

Comment déterminer le noyau et l'image d'une matrice ?

Re : Image et noyau d'une matrice Ou tu utilises le théorème du rang pour déterminer la dimension de l'image ; comme tu sais que les colonnes de la matrice constituent une famille génératrice de l'image, il te suffit d'en extraire une sous-famille libre avec le bon nombre d'éléments.

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Espaces vectoriels et applications linéaires Correction des exercices

18 mar 2015 · On peut aussi prouver ce fait en remarquant que l'application 3 est linéaire et son noyau E est un sous-espace vectoriel de C1 Exercice caractérisée par l' image des vecteurs d'une base, par suite, f existe et est unique

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