ordre d'un polynome

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Comment montrer qu'un polynôme est premier ?
Théor`eme 5.3.5 (de Bezout) Deux polynômes A et B sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes U et V tels que AU + BV = 1.
Preuve : =⇒ Si PGCD(A, B) = 1 alors par définition du PGCD, on a AK[X] + BK[X] = K[X].
Donc 1 ∈ AK[X]+BK[X], ce qui signifie qu'il existe U et V tels que AU +BV = 1.
Comment ordonner les polynômes ?
– Un polynôme est dit ordonné par rapport aux puissances décroissantes ( croissantes) de la variable si les exposants des puissances de cette variable sont placés en ordre décroissant ( croissant ).
C'est quoi l'ordre d'un polynôme ?
Le terme ordre a été utilisé comme synonyme de degré, mais de nos jours, il fait référence à des concepts différents, bien que connexes.
Par exemple, le polynôme 7X²Y³ + 4X – 9 a trois monômes.
Le premier est de degré 2 + 3 = 5, le deuxième (4X¹Y⁰) de degré 1, et le dernier (–9X⁰Y⁰) de degré 0.
Corollaire 1
Soient A et B deux polynômes.
A et B sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux polynômes U et V tels que AU +BV = 1.

Lorsque k = 1 on parle d'une racine simple, lorsque k = 2 d'une racine double, etc. On dit aussi que α est une racine d'ordre k. Proposition 8. Il y a Autres questions

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Soit un polynôme irréductible de degré d ? 1 sur un corps fini premier . L'ordre de est le plus petit entier positif tel que divise x n ? 1 . C'est aussi l'ordre multiplicatif de toute racine de .

Comment déterminer l'ordre de multiplicité ?

Si a est racine de P , pour déterminer son ordre de multiplicité, on peut calculer les polynômes dérivés successifs P ⁽ ^k ⁾ jusqu'à obtenir P ⁽ ^k ⁾( a ) ? 0.
. Le plus petit entier k qui satisfait cette inégalité est l'ordre de multiplicité de la racine a .

C'est quoi un ordre de multiplicité ?

Définition de l'ordre de multiplicité d'une racine Le plus grand entier tel que soit divisible par ( X ? a ) n est appelé l'ordre de multiplicité de la racine dans .

Quel est le degré du polynôme ?

Le degré d'un polynôme correspond au degré du monôme qui a le degré le plus élevé. 2x+3 2 x + 3 est de degré 1 car 2x est le monôme de plus grand degré dans ce polynôme.

Comment reconnaître un polynôme du premier degré ?

Pour P(x) = ax + b,a 0, P est un polynôme du premier degré et pour P(x) = ax2 + bx + c,a 0, P est un polynôme du seconde degré.
. Pour k allant de 0 à n, les réels ak sont appelés coefficients de degré k du polynôme P. Par convention, le degré du polynôme nul, P(x) = 0 est égal à ??.

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