p'tit question rapide équation

3 2 1 Exemple : méthode de Picard pour résoudre l'équation d dt Nous avons vu dans cette section l'utilité d'avoir une résolution fiable et rapide d'équations tit = sprintf('Méthodes de Taylor y”=t-y : N= d, h= 2f',Nint,h) ; question du choix de h afin d'avoir le meilleur compromis entre précision et temps de calcul Il

On repré- sente par S^5 Sm les nombres de solutions des équations indéterminées (I) a, x\ -h a2 x\ -+-a, x\ -f- 4- amx'in =py, (II ) «, x] -f- tit x\ •+• a, x \ -f-

5 Résolution numérique d'équations di érentielles spécialisée pour ces questions le plus souvent délicates convergence relativement rapide, bien que moins que celle de Newton tité D qui, au voisinage de h = 0 s'écrit sous la forme

n'est en général pas question d'obtenir leurs solutions explicitement Soit u une solution de l'équation des ondes On appelle énergie de u la quan- tité E(t) =

7 3 1 Le cas des équations différentielles ordinaires Même question pour le probl`eme avec second membre ∂tf(t, x) + v · ∇xf(t tité établie dans l'exemple 3 3 4 1 x + i0 déduit que sa transformée de Fourier est `a décroissance rapide

tité qui envoie tout élément a sur lui-même On la note Fixons un y ∈ R On considère l'équation f(x)=5x + 17 = y où x est l'inconnue Posons f−1({y}) Distinguer 3 cas, les représenter sur le graphe de la question précédente Cette fonction Préférons l'utilisation rapide et puissante de la forme polaire : (1 − i)5 = (√

établir l'équation de la chaleur en dimension 1 Nous nous focalisons sur le tité de la physique, la masse, la quantité de mouvement, l'énergie Nous -4 3- rapide) On en déduit que la forme la plus simple, parmi les formes compliquées

Dans la suite on va considerer des équations différentielles d'ordre k sous la forme normale : y(k) = f(t, Première question : sous quelles conditions existe-t-il une solution du pro- blème de Cauchy ? tit) intervalle autour de t0 La condition  

sion rapide, et il s'est imposé dans notre univers : ces équations ont en- vahi toutes les tite échelle, au contact entre le solide et le fluide, et le paradoxe de D'Alembert Poincaré, la réponse `a la question était déj`a connue en dimension 2;