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Mathématiques

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Comment pratiquer les mathématiques ?
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.
Comment maîtriser les mathématiques ?
Les mathématiques seront une des matières principales que vous devez maîtriser. Donc à vous de faire l’effort de vous engager et ainsi retenir l’essentiel. A vous d’adapter vos propres techniques pour apprendre et retenir un cours. Tout est gratuit, profitez-en un maximum pour être un des meilleurs dans votre section …

À la découverte de l’algèbre

La première année d’études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une telle expédition? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu’il s’agit d’un domaine passionnant Nous vous proposons de partir à la découverte des mat

L’opérateur logique « ou »

L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une (au moins) des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité : FI G U R E 1.2 – Table de vérité de « P ou Q » Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alo

q p ∈ Z et q ∈ N∗.

Alors a p pour un certain p ∈ Z et un certain q ∈ N ∗. De même b = q = p′ avec p′ ∈ Z et q′ ∈ N q′ ∗. Maintenant exo7.emath.fr

q + q′ = qq′

Or le numérateur pq′ qp′ est bien un élément de Z; le dénominateur qq′ est lui un élément de N ∗. Donc p′′ b s’écrit bien de la forme a b avec p′′ ∈ Z, q′′ ∈ q′′ N ∗. Ainsi a b ∈ Q. + = + exo7.emath.fr

2.2. Cas par cas

Si l’on souhaite vérifier une assertion P (x pour tous les x dans un ensemble ) E, on montre l’assertion pour les x dans une partie A de E, puis pour les x n’appartenant pas à A. C’est la méthode de disjonction ou du exo7.emath.fr

2.4. Absurde

Le raisonnement par l’absurde pour montrer « P ⇒ Q » repose sur le principe suivant : on suppose à la = fois que P est vraie et que Q est fausse et on cherche une contradiction. Ainsi si P est vraie alors Q doit être vraie et donc « P ⇒ Q » est vraie. = exo7.emath.fr

2.5. Contre-exemple

Si l’on veut montrer qu’une assertion du type « ∀x ∈ E P x » est vraie alors pour chaque x de E il faut ( ) montrer que P x est vraie. Par contre pour montrer que cette assertion est fausse alors il sufit de trouver ( ) x ∈ E tel que P x soit fausse. (Rappelez-vous la négation de « ∀x ∈ ( ) E P x » est « ∃x ∈ E non P x ».) ( ) ( ) Trouver un tel x

4.3. Nombres d’applications

Soient E, F des ensembles finis, non vides. On note Card E n et Card F p. = = exo7.emath.fr

Proposition 6.

Le nombre d’applications différentes de E dans F est : pn Autrement dit c’est Card ( F CardE . ) exo7.emath.fr

5.1. Définition

Une relation sur un ensemble E, c’est la donnée pour tout couple x, y ∈ E × E de « Vrai » (s’ils sont en ( ) relation), ou de « Faux » sinon. Nous schématisons une relation ainsi : les éléments de E sont des points, une flèche de x vers y signifie que x est en relation avec y, c’est-à-dire que l’on associe « Vrai » au couple (x, y ). exo7.emath.fr

Définition 8.

Soit E un ensemble et R une relation, c’est une relation d’équivalence si : • ∀x ∈ E, xR x, exo7.emath.fr

Si z a i b et z′ a′ i b′

sont deux nombres complexes, alors on définit les opérations suivantes : = + = + exo7.emath.fr

1.3. Partie réelle et imaginaire

Soit z a i b un nombre complexe, sa partie réelle est le réel a et on la note Re = + exo7.emath.fr

PDF	Cours-exo7.pdf La définition mathématique est la suivante : L'assertion « (non P) ou Q » est notée « P =? Q ». Sa table de vérité est donc la suivante : P Q V F.

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